Вычисление производной примеры решения задач Применение производной к исследованию функций План исследования функции и построение графика Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Вычисление производной примеры решения задач

Свойства дифференциала

1.            Пусть u = u(x) и v = v(x) – дифференцируемые в точке х функции. Тогда в точке х имеют место следующие формулы:

d(u±v) = du ±dv

d(uv) = udv+vdu

  (при условии, что V(x) ¹ 0)

Эти формулы следуют из определения дифференциала и свойств производной.

Пример. y = x3sin2x. Найти dy.

dy = (3x2sin2x+2x3cos2x)dx Вычислить тройной интеграл Примеры решения и оформления задач контрольной работы

2. Инвариантность формы дифференциала

Получена формула: dy = f'(x) dx для функции y = f(x), где х – независимая переменная. Пусть теперь y = f(x) и х = g(t), то есть у является сложной функцией t: у = f(g(t)). Тогда dy = y'tdt. По правилу дифференцирования сложной функции имеем y't = y'xx't. Отсюда dy = y'xx'tdt = y'xdx = f'(x)dx, так как x'tdt = dx. Таким образом, дифференциал сложной функции y = f(x), где х = g(t), имеет такой же вид dy = f'(x) dx, как и дифференциал функции y = f(x), где х – независимая переменная.

Это свойство дифференциала сложной функции называется инвариантностью формы дифференциала.

Задача 13. Раскрыть неопределенности:

a) ; b)   c) .

Решение. Сделаем несколько общих замечаний о применении правила Бернулли-Лопиталя.

1. Правило Бернулли-Лопиталя вычисления предела отношения двух бесконечно больших или бесконечно малых функций состоит в замене отношения функций отношением их производных.

2. Это правило применимо лишь к неопределенностям вида  или , а неопределенности других типов () необходимо сводить к этим двум.

3. Иногда для раскрытия неопределенности приходится применять это правило последовательно несколько раз.

4. На каждом этапе применения правила Бернулли-Лопиталя следует пользоваться тождественными преобразованиями, а также комбинировать это правило с другими приёмами вычисления пределов (замена переменной, эквивалентности и т.п.).

Перейдем к вычислению пределов:

a) 

.

b) 

Вычислим отдельно:

.

Значит, .

c) 

При вычислении этого предела последовательно использованы: основное логарифмическое тождество; непрерывность функции  замена переменной; формулы приведения; эквивалентность  преобразование неопределенности  в неопределенность   правило Бернулли-Лопиталя; тождественные преобразования; эквивалентность


Вычислить произведение матриц