Emporio Armani мужские    часы

Фотокамеры Nikon

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

Дипломы, работы на заказ, недорого

 Cкачать    курсовую

Cкачать курсовую

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Вычисление производной примеры решения задач Применение производной к исследованию функций План исследования функции и построение графика Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Вычисление производной примеры решения задач

Дифференциал функции

Рассмотрим функцию у = х3. Дадим некоторому значению аргумента х ¹ 0 приращение Dх ¹ 0, тогда функция получит соответствующее приращение Dу. Вычислим его.

Dу = (х+Dх)33 = х3+3х2Dх+3х(Dх)2+(Dх)33 = =3х2Dх+(3х(Dх)2+(Dх)3).

Приращение функции можно рассматривать как сумму двух слагаемых: 3х2Dх – линейного относительно Dх и 3х(Dх)2+(Dх)3 – нелинейного относительно Dх. При Dх®0 оба слагаемых, очевидно, являются бесконечно малыми. Однако второе слагаемое является бесконечно малой более высокого порядка, чем первое. Действительно, .

  Обозначим 3х(Dх)2+(Dх)3 = 0(Dх). Таким образом, Dу = 3х2Dх+0(Dх). При малых Dх получаем: Dу»3х2Dх.

Определение. Пусть приращение Dу функции y = f(x) в точке х можно представить в виде

Dу = АDх+0(Dх),  (1)

где Dх – приращение аргумента; А- величина, не зависящая отDх; 0(Dх) – бесконечно малая более высокого порядка, чем Dх при Dх®0, то есть . Тогда главная часть приращения (1) функции А×Dх, линейная относительно Dх, называется дифференциалом функции в точке х и обозначается dy. Итак, по определению dy = А×Dх

Задача 15. Провести исследование и построить график функции

.

Решение. Общее исследование функции и построение графика удобно выполнять по следующей схеме:

I. Найти область определение функции, область непрерывности и точки разрыва, вычислить односторонние пределы в точках разрыва, выяснить, не является ли функция четной, нечетной или периодической.

II. Найти асимптоты графика функции.

III. Вычислить производные 1го и 2го порядка и найти критические точки 1го и

2го порядка.

IV. Найти точки экстремума и интервалы возрастания и убывания функции.

V. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости графика функции.

VI. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

VII. Построить график функции, используя все полученные результаты исследования.

Заметим, что для большей точности графика рекомендуется находить касательные в точках пересечения графика с осями координат и в точках перегиба, а также односторонние касательные в угловых точках графика (см. ниже).

Руководствуясь указанной схемой, проведем исследование данной функции.

1) Область определения  т.к. логарифмы неположительных чисел не существуют. Функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической. Она непрерывна всюду на  (как элементарная). точка   – точка разрыва. Выясним тип разрыва:

Таким образом,  – точка разрыва 2го рода.

2) Полученный в пункте 1) результат позволяет утверждать: прямая   – вертикальная асимптота (единственная). Выясним, имеет ли график горизонтальную асимптоту:

Итак, прямая  (ось абсцисс) – горизонтальная асимптота.

3) Вычисляем производные, предварительно освободив запись функции от знака модуля:

 

Находим критические точки, т.е. точки из области определения функции, в которых соответствующая производная равна 0 или не существует. Точки 1го порядка:

И так как , то  не существует, т.е. точка  – критическая точка.

Точки 2го порядка:

  не существует, ибо  не существует, т.е. точка  – критическая точка и 2го порядка.

Отметим, что точка графика , в которой существует различные односторонние касательные (их угловые коэффициенты равны соответствующим односторонним производным) называется угловой точкой.

4-5) Критические точки разбивают область определения на интервалы знакопостоянства производных. Знаки же производных позволяют определить интервалы монотонности и выпуклости-вогнутости, а именно: а) если  на , то  возрастает, если же , то  убывает; б) если  на , то график функции направлен выпуклостью вниз, если , то выпуклостью вверх.

Составим сводную таблицу знаков производных. Первая строка изображает  с отмеченными критическими точками как 1го, так и 2го порядка. Во 2й и 3й указаны знаки производных в интервалах, на которые критические точки разбили . В 4й строке – графическое изображение поведения функции.

0

1

-

+

0

-

-

+

не

сущ.

-

-

-

0

+

верт.

ас.

перегиб

перегиб

Анализ показывает, что функция убывает в интервалах  и , и возрастает в интервале ;  – точка минимума, , а  – точка максимума, . Далее, график функции является выпуклым вниз на интервалах  и , и выпуклым вверх на интервале ; точки графика  и  – точки перегиба.

6) График не пересекается с осью , ибо . Чтобы найти точки пересечения графика с осью , надо решить уравнение . Для нашей функции:

7) Строим эскиз графика


Вычислить произведение матриц