Вычисление производной примеры решения задач Применение производной к исследованию функций План исследования функции и построение графика Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Вычисление производной примеры решения задач

Логарифмическое дифференцирование

Функция вида y = [u(x)]v(x) называется степенно – показательной. Для вычисления ее производной (при условии, что у' существует), нужно прологарифмировать функцию по любому основанию (обычно по основанию е). Затем нужно вычислить производную полученной неявной функции.

Пример. Найти производную функции y = (sinx)x

Логарифмируем функцию по основанию е:lny = x lnsinx. Дифференцируем обе части равенства по х, получаем

,

отсюда   или .

Рассмотренный прием называется логарифмическим дифференцированием. Он применяется не только для вычисления производных степенно-показательных функций, но и в случаях, когда аналитическое выражение функции содержит несколько множителей.

Пример. Найти производную функции . Логарифмируя, получаем . Дифференцируем обе части полученного равенства:

, отсюда   или .

Задача 2.11. Вычислить предел функции используя правило Лопиталя.

Задача 2.12. Вычислить вторую производную .

Решение

Вычислим сначала первую производную:

Теперь вторую:

 Теория пределов

 Понятие функции

Величина, принимающая различные числовые значения, называется переменной.

Если каждому значению переменной величины х, принадлежащему некоторой совокупности (множеству) Е, соответствует одно конечное значение величины у, то у называется функцией (однозначной) от х, или зависимой переменной, определенной на множестве Е; х называется аргументом, или независимой переменной. То обстоятельство, что у есть функция от х, кратко выражается записью:  или , ,  и т.п. 

Примечание 1: в дальнейшем все рассматриваемые значения величин будут предполагаться вещественными, если явно не оговорено противное.

Если каждому значению х, принадлежащему некоторому множеству Е соответствует одно или несколько значений переменной величины у, то у называют многозначной функцией от х, определенной на множестве Е.

 Примечание 2: в дальнейшем под словом «функция» мы будем понимать только однозначные функции, если явно не оговорено противное.

 Совокупность значений х, для которых данная функция определена, называется областью определения функции.


Вычислить произведение матриц