Вычисление производной примеры решения задач Применение производной к исследованию функций План исследования функции и построение графика Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Вычисление производной примеры решения задач

Пример Дифференцирование функций, заданных неявно 

tg(x+y) = xy

Продифференцируем обе части по х. Получим   или . Отсюда или . Окончательно .

Заметим, что производная неявной функции выражается через х и у, то есть получается равенство

y' = g(x, y) (2)

Для вычисления второй производной неявной функции, нужно продифференцировать обе части равенства (2) по х и затем подставить выражение g(x, y) вместо y'.

Аналогично можно вычислить производные любого порядка неявной функции.

Пример. х22-1=0. Найти у''.

Продифференцируем обе части данного равенства по х, получим 2х+2уу' = 0, откуда у' = -. Продифференцируем обе части последнего равенства по х, получим   или . Подставим , вместо у'. .

Задача 7. Исследовать на непрерывность функцию

Показать графически поведение функции в окрестностях точек разрыва.

Решение. Данная функция – элементарная, поэтому непрерывна в любой точке, входящей в область определения с некоторой окрестностью. Точками же разрыва являются точки, не входящие в область определения, но такие, в окрестности которых функция определена. Область определения этой функции

Итак, точки разрыва – это  и

Выясним характер точек разрыва, для чего вычислим односторонние пределы данной функции в каждой из этих точек.

Т.к. в точке  существуют конечные, но не равные односторонние пределы, то эта точка является точкой разрыва 1го рода.

Т.к. найденный левый предел функции равен бесконечности, то и без вычисления правого предела можно сказать, что точка  – это точка разрыва 2го рода {точка  называется точкой разрыва 2го рода, если хотя бы один из пределов  и  равен бесконечности или не существует}. Однако, для выяснения поведения функции в окрестности точки разрыва необходимо найти и правый предел. Нетрудно видеть, что

Графическое изображение поведения функции в окрестностях точек разрыва:

Ответ: Данная функция непрерывна на  (как элементарная); в точке  она имеет разрыв 1го рода (скачок), в точке  – разрыв 2го рода (бесконечный разрыв).


Вычислить произведение матриц