Вычисление производной примеры решения задач Применение производной к исследованию функций План исследования функции и построение графика Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Вычисление производной примеры решения задач

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Производная Основные понятия

Пусть дана функция y = f(x). Рассмотрим два значения ее аргумента: исходное х0 и новое х. Разности = х-х0 и D y = f(x)-f(x0) = y-y0 называются соответственно приращением аргумента и приращением функции в точке х0. Очевидно, что х = х0+Dх, у = у0+Dу, = f(x0+Dx)-f(x0). В дальнейшем будем считать значение х0 фиксированным, а х – переменным. При этом и являются пе­ременными величинами.

Производной функции у = f(x) в точке х0 называется если этот предел существует. Производная обозначается у'(x0) или f'(x0). Таким образом, .

Пусть Х = {х}-множество всех таких х, для которых существует y'(х). Очевидно, что (х) является функцией, определенной на множестве Х.

Нахождение производной функции называется дифференцированием этой функции. Функция, имеющая производную в точке х0, называется дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая в каждой точке интервала (a, b), называется дифференцируемой на интервале (a, b).

Из курса средней школы известен геометрический смысл производной. Пусть функция у = f(x) дифференцируема в точке х0, тогда угловой коэффициент касательной к графику функции, проведенной в точке (х0, f(х0)) равен у'(х0).

Из курса средней школы известен также физический смысл производной. Пусть материальная точка движется прямолинейно неравномерно по закону S = f(t), где t – время, S – путь, проходимый точкой за время t. Тогда скорость точки в момент времени t равна: V = S'(t).

Задача 8. Исследовать на непрерывность функцию

Решение. Данная функция, вообще говоря, не является элементарной, ибо задана несколькими аналитическими выражениями, а не одним. Поэтому она может иметь разрывы и в точках, принадлежащих ее области определения. Однако, каждое из 3х выражений, которыми задана функция, является элементарным, а следовательно и непрерывным на своей области задания. Поэтому точками разрыва могут быть лишь точки, в которых функция меняет одно выражение на другое. Итак, возможные точки разрыва данной функции – это точки  и . Исследуем эти точки.

Односторонние пределы существуют, конечны, но различны по величине, следовательно   – точка разрыва 1го рода. Говорят, что функция имеет в точке  скачок равный .

Совпадение односторонних пределов означает, что предел функции в т.   существует, причем  Вычислим еще и значение функции в точке :

Т.к. , то делаем вывод: данная функция непрерывна в т.  (по определению).

Ответ: Данная функция непрерывна всюду за исключением точки , в которой она имеет разрыв 1го рода.


Вычислить произведение матриц