Вычисление производной примеры решения задач Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычитание векторов Скалярное произведение векторов Кривые второго порядка Прямая в пространстве

Матрица примеры решения задач

Пример. Вычислить определитель

, используя свойства определителей.

Решение.

, так как у первого определителя, стоящего в скобках, первая и последняя строки равны, а у второго – вторая и последняя строки пропорциональны.

Пример. Решить уравнение

.

Решение. Снова преобразуем определитель, используя свойство 4.

Равенство нулю исходного определителя справедливо при любых значениях x, так как у первого определителя две строки равны, а у второго- пропорциональны.

Таким образом, .

Определители и системы линейных уравнений.

Линейным уравнением относительно неизвестных , ,…,  называют выражение вида , где аi и b – числа. (1.1) 

Последовательность n чисел , ,…,  называют решением линейного уравнения с n неизвестным , ,…, , если после подстановки , ,…,  в данное уравнение, оно превращается в верное числовое соотношение.

Пример: Уравнение  имеет решение , , , , т.к. после подстановки этих значений в уравнение получаем: , т.е. числовое соотношение верно. Последовательность чисел 3, 2, 0, 1 не является решением данного уравнения, т.к. после подстановки , , , , получим , а это неверно, т.к. левая часть этого соотношения равна 13.

 Линейное уравнение , где  не имеет решений. Оно называется противоречивым.

  Конечную совокупность линейных уравнений относительно неизвестных *  , ,…,  называют системой линейных уравнений. Если пронумеровать уравнения, то вся система запишется в следующем виде:

  (1.2)

где   - коэффициент при неизвестном  из i-го уравнения,  - свободный член i-го уравнения системы, . В обозначении  i- номер строки, j– номер столбца.

Числа  называются коэффициентами, а  - свободными членами системы.

Если , то система (1.2) называется однородной.

Матрицей  размера  называется прямоугольная таблица чисел, составленная из коэффициентов при неизвестных системы (1.2), имеющая n строк и m столбцов:

   (1.3)

Пример: Матрица системы уравнений  имеет вид: . Если число строк матрицы равно числу столбцов, то матрица называется квадратной, а число ее строк, равное числу столбцов – порядком квадратной матрицы. Множество всех элементов квадратной матрицы, которые лежат на отрезке, соединяющем левый верхний угол с правым нижним (т.е. элементы  в (1.3)), называется главной диагональю , а на отрезке, соединяющем правый верхний угол с левым нижним – побочной диагональю.

Матрица В системы (1.2), полученная из А (1.3) добавлением столбца свободных членов, называется расширенной матрицей системы (1.2):

  (1.4)

Пример: Расширенная матрица предыдущего примера имеет вид: .

Квадратная матрица Е называется единичной матрицей n-го порядка, если все элементы ее главной диагонали равны единице, а все остальные – нули.

Матрица называется верхней треугольной, если элементы ее главной диагонали – единицы, под главной диагональю – нули, а над главной диагональю – некоторые числа.

 Матрицы равны, если все их элементы совпадают.

Суммой двух матриц  размера  и  размера  называется матрица  размера  с элементами:

  (1.5)

Пример: .

Произведением матрицы  на число  называется матрица , того же размера с элементами:

  (1.6)


Скалярное произведение векторов