Вычисление производной примеры решения задач Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычитание векторов Скалярное произведение векторов Кривые второго порядка Прямая в пространстве

Матрица примеры решения задач

Следствие. Если элементы какого-либо ряда определителя пропорциональны элементам параллельного ряда, то определитель равен нулю.

Пусть, например, элементы первой и второй строк определителя пропорциональны. Тогда имеем

.

4.Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель можно представить в виде суммы двух определителей, у которых все ряды, кроме данного, прежние, а в данном ряду в первом определителе стоят первые, а во втором – вторые слагаемые.

Допустим, что элементы первой строки определителя являются суммами двух слагаемых. Тогда имеем:

,

так как в первых скобках записано разложение по первой строке определителя с элементами , а во вторых – разложение определителя с элементами .

5.Величина определителя не изменится, если к элементам какого-либо ряда определителя прибавить или отнять элементы параллельного ряда, умноженные на одно и то же число, то есть составить линейную комбинацию строк или столбцов.

Для доказательства этого рассмотрим определитель

.

Составим определитель, полученный из данного прибавлением к элементам его первой строки элементов второй строки, умноженных на число K.

по свойству 4. Далее по свойству 3 и следствию 2 к нему получим

Решение двойственных задач.

Теоремы двойственности позволяют установить взаимосвязь между оптимальными решениями пары двойственных задач. Решив одну из пары двойственных задач, можно или найти оптимальное решение другой задачи, не решая ее, или установить его отсутствие.

Справедливы следующие теоремы.

Теорема 1. (Первая теорема двойственности)

 Если одна из пары двойственных задач имеет оптимальное решение, то и двойственная к ней имеет оптимальное решение; причем значения целевых функций задач на своих оптимальных решениях совпадают.

Если одна из пары двойственных задач не имеет решение ввиду неограниченности целевой функции, то другая не имеет решение ввиду несовместимости системы ограничений.

Теорема 2. (Вторая теорема двойственности)

  Если при подстановке оптимального решения в систему ограничений i-е ограничение исходной задачи выполняется как строгое неравенство, то i-я координата оптимального решения двойственной задачи равна нулю, и, наоборот, если i-я координата оптимального решения двойственной задачи отлична от нуля, то i-е ограничение исходной задачи удовлетворяется оптимальным решениям как равенство.

Рассмотрим решенную задачу из лекции 4, построим и найдем решение для двойственной ей.

 

Прямая задача

Двойственная задача

Введем дополнительные балансовые переменные.

Исходные переменные:

Дополнительные переменные:

Исходные переменные:

Дополнительные переменные:

Теорема 1. Компоненты оптимального решения двойственной задачи равны абсолютным величинам коэффициентов при соответствующих переменных линейной функции исходной задачи, выраженной через свободные переменные на последнем шаге симплекс-метода.

Установим соответствие между переменными для прямой и двойственной задачи.

Из последней симплекс-таблицы решения прямой задачи выделяем строку для целевой функции.

БП

Св.ч

x1

x2

x3

x4

x5

x3

0

0

1

x2

0

1

0

x1

1

0

0

f

0

0

0

Если числа, стоящие в ней, начиная со второго, взять с противоположным знаками, а затем воспользоваться соответствием между переменными обеих задач, то получим оптимальное решение двойственной задачи.

Ответ:

 

Замечание: Теория двойственности позволяет решать ту из двойственных задач, где допустимый базис находится наиболее быстро.


Скалярное произведение векторов