Вычисление производной примеры решения задач Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычитание векторов Скалярное произведение векторов Кривые второго порядка Прямая в пространстве

Матрица примеры решения задач

Элементы линейной алгебры

Пример 4. Вычислить определитель

, разлагая его по элементам второй строки.

Решение. Согласно теореме разложения имеем:

.

Свойства определителей

Формулируя свойства, мы не будем указывать порядок определителя, так как эти свойства справедливы для определителей любого порядка, но доказательства свойств проведём для определителей 3-го порядка.

1.Определитель не меняет своего значения при замене всех его строк соответствующими столбцами, то есть

. (1.5)

Действительно, разложим определитель слева по элементам первой строки, а определитель справа по элементам первого столбца. Тогда в обоих случаях согласно теореме разложения получим , что и доказывает неизменность определителя.

Пример решения ЗЛП.

Приведем ЗЛП к каноническому виду.

Введем балансовые переменные x3, x4, x5.

Выделим допустимый базис.

Замечаем, что переменные x3, x4, x5  удовлетворяют условию допустимости, так как каждая из них входит только в одно уравнение, и, при этом, свободные члены неотрицательные.

Преобразуем целевую функцию.

Составляем симплекс-таблицы.

 Итерация 0.

БП

Св.ч

x1

x2

x3

x4

x5

x3

1

1

-2

1

0

0

x4

2

-2

1

0

1

0

x5

3

1

1

0

0

1

f

0

-1

1

0

0

0

В последней строке есть положительный элемент при столбце переменной x2.

Этот столбец – разрешающий, помечаем его стрелкой.

Для положительных элементов разрешающего столбца составляем симплекс-отношение и находим минимальное из них.

Минимальное симплекс-отношение соответствует строке при переменной x4. Это разрешающая строка, помечаем ее стрелкой.

На пересечении разрешающей строки и разрешающего столбца определяем разрешающий элемент.

Составляем новую симплекс-таблицу.

Переменную x2 вводим в базисные переменные вместо переменной x4.

Все элементы разрешающей строки разделим на разрешающий элемент 1.

Все элементы разрешающего столбца, кроме разрешающего элемента заменим 0.

Все остальные элементы таблицы рассчитаем по правилу прямоугольника.

 Итерация 1.

БП

Св.ч

x1

x2

x3

x4

x5

x3

5

-3

0

1

2

0

x2

2

-2

1

0

1

0

x5

1

5

0

0

-1

1

f

-2

1

0

0

-1

0

Замечаем, что последней строке опять есть положительный элемент при столбце переменной x1. Это новый разрешающий столбец, помечаем его стрелкой.

Для положительных элементов разрешающего столбца составляем симплекс-отношение и находим минимальное из них. Такой элемент единственный.

Минимальное симплекс-отношение соответствует строке при переменной x5.

Это разрешающая строка, помечаем ее стрелкой.

На пересечении разрешающей строки и разрешающего столбца определяем разрешающий элемент.

Составляем новую симплекс-таблицу.

Переменную x1 вводим в базисные переменные вместо переменной x5.

Все элементы разрешающей строки разделим на разрешающий элемент 5.

Все элементы разрешающего столбца, кроме разрешающего элемента заменим 0.

Все остальные элементы таблицы рассчитаем по правилу прямоугольника.

Итерация 2.

БП

Св.ч

x1

x2

x3

x4

x5

x3

0

0

1

x2

0

1

0

x1

1

0

0

f

0

0

0

Так как в последней строке нет положительных элементов, то оптимальное решение найдено.

Переменные x3, x4, x5 не входят в условие задачи, поэтому и в конечном ответе их быте не должно.

Ответ:

 

 


Скалярное произведение векторов