Вычисление производной примеры решения задач Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычитание векторов Скалярное произведение векторов Кривые второго порядка Прямая в пространстве

Матрица примеры решения задач

Однородные системы

Пример. Решить систему

Решение. Составим матрицу системы

и методом элементарных преобразований найдем ранг

 r=2.

Выберем в качестве базисного минор  Тогда укороченная система имеет вид

Полагая х3=с1, х4=с2, находим х2=-6с1+5с2, а х1=-4с1+3с2+2(6с1-5с2)=8с1-7с2. Общее решение системы

 (1.20)

Назовем фундаментальной системой решений систему матриц-столбцов, полученную из общего решения при условии, что свободным неизвестным дают последовательно значения

Матрицы-столбцы, то есть фундаментальную систему решений обозначают Е1, Е2, …, Еn. Общее решение будет представлено в виде

В примере 21 найти фундаментальную систему решений и выразить с ее помощью общее решение этой системы.

Из общего решения (1.20) системы найдем фундаментальную систему решений.

,

С использованием фундаментальной системы общее решение можно записать в виде

Совокупность n линейно независимых векторов n-мерного пространства   называется его базисом.

 Говорят, что в линейном пространстве R задано преобразование А, если каждому вектору   поставлен в соответствие определенный вектор А(х) (или Ах). Преобразование А называется линейным, если для любых двух векторов х и у из R и произвольного числа :

1. .

2. .

Вектор Ах называется образом вектора х.

Если в векторном пространстве  задан базис, то каждому линейному преобразованию отвечает определенная квадратная матрица порядка n и, обратно, каждой такой матрице отвечает определенное линейное преобразование.

Вектор-столбец , называется собственным вектором линейного преобразования А, если найдется такое число , что  или , где 0 – нулевой вектор-столбец.

Число   называется соответствующим вектору х собственным значением преобразования А (матрицы А).

При условии, что , получаем характеристическое уравнение для определения собственных значений :

или  =0. 

Таким образом, каждое собственное значение преобразования А является корнем его характеристического уравнения.

Собственные векторы , соответствующие собственному значению , являются решением системы уравнений:

.

Собственный вектор определяется с точностью до постоянного множителя.


Скалярное произведение векторов