Однородные системы
Рассмотрим однородную систему линейных уравнений
(1.19)
Такая система всегда совместна, так как этой системе удовлетворяют значения х1=х2=…=хn=0. Это решение системы называют тривиальным.
Теорема. Для того чтобы однородная система линейных уравнений имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы этой системы был меньше числа неизвестных n.
Доказательство. По теореме mso-ansi-language: EN-US'>r=n, то система имеет единственное решение. А так как система (1.19) имеет всегда тривиальное решение, то в этом случае оно и единственно, то есть при r=n система имеет лишь тривиальное решение.
При r<n система является неопределенной, то есть имеет бесчисленное множество решений, в том числе и нетривиальное.
Замечание. Если m=n, то есть число уравнений совпадает с числом неизвестных, матрица системы является квадратной. условие r<n в этом случае означает, что определитель системы, то есть det А=0, что следует из определения ранга матрицы.
n-мерные линейные пространства.
Последовательность n действительных чисел
называют n-мерной точкой М (2.1), а сами числа
- координатами точки М.
Множество всех n-мерных точек составляет n-мерное пространство
.
Например, М (1;2;-1;1) и N (2;3;-4;6) – точки четырехмерного пространства
, т.е.
и
.
Расстоянием между точками М (
) и N (
) называют число
Например,
.
Если даны две точки (2.1) в пространстве
, то можно рассмотреть вектор
:
![]()
При этом длина вектора
совпадает с расстоянием
, т.е.
.
Вектор
, где 0(0,0,…,0) называют радиус-вектором точки М.
n-мерное пространство
называется линейным или векторным пространством, если для любых двух его элементов, например, х и у, определена сумма
и для каждого элемента
и каждого числа
определено произведение
, так, что выполнены следующие условия:
х + у = у + х, для всех
.
, для всех
.
Существует такой нулевой элемент
, что х + 0 = х, для всех
.
Для каждого
существует противоположный элемент –х, что
.
, для всех
.
Для любых чисел
и
и всех
справедливы равенства
,
,
.
Векторы
линейного пространства
называются линейно зависимыми, если существуют такие числа
, не равные нулю одновременно, что
. Все остальные векторы называются линейно независимыми.
Примечание: линейное пространство
называется n-мерным, если в нем можно найти n линейно независимых векторов, но больше, чем n линейных независимых векторов, оно не содержит.