Однородные системы
Рассмотрим однородную систему линейных уравнений
(1.19)
Такая система всегда совместна, так как этой системе удовлетворяют значения х1=х2=…=хn=0. Это решение системы называют тривиальным.
Теорема. Для того чтобы однородная система линейных уравнений имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы этой системы был меньше числа неизвестных n.
Доказательство. По теореме mso-ansi-language: EN-US'>r=n, то система имеет единственное решение. А так как система (1.19) имеет всегда тривиальное решение, то в этом случае оно и единственно, то есть при r=n система имеет лишь тривиальное решение.
При r<n система является неопределенной, то есть имеет бесчисленное множество решений, в том числе и нетривиальное.
Замечание. Если m=n, то есть число уравнений совпадает с числом неизвестных, матрица системы является квадратной. условие r<n в этом случае означает, что определитель системы, то есть det А=0, что следует из определения ранга матрицы.
n-мерные линейные пространства.
Последовательность n действительных чисел 
называют n-мерной точкой М (2.1), а сами числа
- координатами точки М.
Множество
всех n-мерных точек составляет n-мерное пространство 
.
Например,
М (1;2;-1;1) и N (2;3;-4;6) – точки четырехмерного пространства 
,
т.е. 
и 
.
Расстоянием между точками М () и N (
) называют число 
Например, 
.
Если даны две точки (2.1) в пространстве , то можно рассмотреть вектор
:
При этом длина вектора
совпадает с расстоянием 
, т.е. 
.
Вектор 
,
где 0(0,0,…,0) называют радиус-вектором точки М.
n-мерное пространство
называется линейным или векторным пространством, если
для любых двух его элементов, например, х и у, определена сумма 
и для каждого элемента 
и каждого числа 
определено произведение 
, так, что выполнены следующие условия:
х
+ у = у + х, для всех 
.
,
для всех 
.
Существует такой
нулевой элемент 
, что х + 0 = х, для всех .
Для каждого существует противоположный элемент –х, что 
.
,
для всех .
Для любых чисел
и 
и всех справедливы равенства 
, 
, 
.
Векторы 
линейного пространства называются
линейно зависимыми, если существуют такие числа 
, не равные нулю одновременно, что 
. Все остальные векторы называются
линейно независимыми.
Примечание: линейное пространство называется n-мерным, если в нем можно найти n линейно
независимых векторов, но больше, чем n линейных независимых векторов, оно не содержит.