Вычисление производной примеры решения задач Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычитание векторов Скалярное произведение векторов Кривые второго порядка Прямая в пространстве

Матрица примеры решения задач

Однородные системы

Рассмотрим однородную систему линейных уравнений

 (1.19)

Такая система всегда совместна, так как этой системе удовлетворяют значения х1=х2=…=хn=0. Это решение системы называют тривиальным.

Теорема. Для того чтобы однородная система линейных уравнений имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы этой системы был меньше числа неизвестных n.

Доказательство. По теореме mso-ansi-language: EN-US'>r=n, то система имеет единственное решение. А так как система (1.19) имеет всегда тривиальное решение, то в этом случае оно и единственно, то есть при r=n система имеет лишь тривиальное решение.

При r<n система является неопределенной, то есть имеет бесчисленное множество решений, в том числе и нетривиальное.

Замечание. Если m=n, то есть число уравнений совпадает с числом неизвестных, матрица системы является квадратной. условие r<n в этом случае означает, что определитель системы, то есть det А=0, что следует из определения ранга матрицы.

n-мерные линейные пространства.

Последовательность n действительных чисел  называют n-мерной точкой М (2.1), а сами числа  - координатами точки М.

Множество всех n-мерных точек составляет n-мерное пространство .

Например, М (1;2;-1;1) и N (2;3;-4;6) – точки четырехмерного пространства , т.е.  и .

Расстоянием между точками М () и N () называют число 

Например, .

Если даны две точки (2.1) в пространстве , то можно рассмотреть вектор

* 

При этом длина вектора * совпадает с расстоянием , т.е. .

Вектор , где 0(0,0,…,0) называют радиус-вектором точки М.

n-мерное пространство  называется линейным или векторным пространством, если для любых двух его элементов, например, х и у, определена сумма  и для каждого элемента  и каждого числа  определено произведение , так, что выполнены следующие условия:

х + у = у + х, для всех .

, для всех .

Существует такой нулевой элемент , что х + 0 = х, для всех .

Для каждого  существует противоположный элемент –х, что .

, для всех .

Для любых чисел  и  и всех  справедливы равенства , , .

Векторы   линейного пространства  называются линейно зависимыми, если существуют такие числа , не равные нулю одновременно, что . Все остальные векторы называются линейно независимыми.

Примечание: линейное пространство  называется n-мерным, если в нем можно найти n линейно независимых векторов, но больше, чем n линейных независимых векторов, оно не содержит.


Скалярное произведение векторов