Вычисление производной примеры решения задач Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычитание векторов Скалярное произведение векторов Кривые второго порядка Прямая в пространстве

Матрица примеры решения задач

Пример. Исследовать совместность и найти общее решение системы

Решение. Произведем элементарные преобразования расширенной матрицы системы

Умножив первую строку матрицы на –3, сложим ее со второй и третьей строками, а, умножив на –2, сложим ее с четвертой строкой.

Тогда имеем

Сложим теперь вторую строку этой матрицы с третьей и вычтем ее из четвертой:

Так как расширенная матрица системы  и матрица системы А содержат три ненулевых строки, то  Система совместна и, так как ранг матрицы  меньше числа неизвестных системы, то система имеет множество решений.

Выберем в качестве базисного минора

 Тогда неизвестные х2, х3, х4 – базисные, а х1 и х5 – свободные. Укороченная система имеет вид

Положим х1=с1, х5=с2. Тогда система примет вид

Так как х4=0, то из второго уравнения этой системы х3=3-4с2.

Подставляя х4 и х3 в первое уравнение, получим

Следовательно, общее решение исходной системы имеет вид

Пример: Решить систему линейных уравнений

Решение: Преобразуем систему методом Гаусса:

   

После вычитания третьего уравнения из второго из трех уравнений остается два, так как третье уравнение принимает вид  и будет удалено из системы. В данном случае ранг системы , а число неизвестных , т.е. . Из трех уравнений первоначально данной системы только два независимы . Система приведена к верхнему треугольному виду. Прямой ход метода Гаусса закончен. Исключая теперь с помощью второго уравнения  из первого уравнения, приведем систему к виду

откуда легко находим общее решение:  Неизвестные - базисные, - свободное. Придавая неизвестному  произвольные числовые значения, можно получить множество частных решений:   и т.д.


Скалярное произведение векторов