Вычисление производной примеры решения задач Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычитание векторов Скалярное произведение векторов Кривые второго порядка Прямая в пространстве

Матрица примеры решения задач

Пример. Исследовать совместность системы

Решение. Произведем элементарные преобразования расширенной матрицы системы

Первую строку матрицы умножим на –1 и прибавим ее к остальным строкам. Получим

Вторую строку полученной матрицы сложим с третьей строкой, а затем, умножив ее на 2, сложим с последней:

Ранг матрицы системы равен двум, а ранг расширенной – трем. Следовательно, система несовместна.

Из последнего уравнения находим . Подставим найденное значение во второе уравнение: . Подставив значения  и  в первое уравнение, получаем: .

система имеет единственное решение: , , .

Методом Гаусса можно не только решить совместную систему, но и установить, является ли исходная система совместной.

Пример:

Запишем расширенную матрицу системы уравнений:

Делим элементы первой строки на –2, элементы второй строки на 4, элементы третьей строки на 2 (преобразования проводим, пользуясь свойствами матриц):

Вторую строку умножаем на –1 и складываем с первой. Третью строку умножаем на –1 и складываем с первой:

Делим элементы второй и третьей строк на –1:

в третьей строке мы получили противоречие, так как приведенное последнее уравнение имеет вид: , т.е. 0=1 чего не может быть. Следовательно, исходная система решений не имеет.

Методом Гаусса можно решить не только квадратную систему уравнений, но и любую прямоугольную.


Скалярное произведение векторов