Вычисление производной примеры решения задач Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычитание векторов Скалярное произведение векторов Кривые второго порядка Прямая в пространстве

Матрица примеры решения задач

Метод Гаусса

Пусть требуется решить систему АХ=В. Над строками расширенной матрицы произведем элементарные преобразования, приводящие ее к виду, когда ниже элементов а11, а22, …, аrr будут стоять нули. Этот вид матрицы будем называть трапециевидным.

Отметим, что все преобразования, приводимые над строками расширенной матрицы, проводятся над соответствующими уравнениями данной системы, а, как известно, в таком случае получают равносильную данной систему уравнений.

Итак, преобразуем матрицу

к виду . (1.17)

Матрица (1.17) является расширенной матрицей укороченной системы

 1.18)

Система (1.18) эквивалентна исходной системе.

Если хотя бы одно из чисел  отлично от нуля, то система (1.18) несовместна и вместе с ней несовместна исходная система.

Если же , то из укороченной системы получаем базисные неизвестные, перенеся в правые части укороченных уравнений свободные неизвестные.

Метод Крамера: Если определитель  системы (1.2) не равен нулю, то система имеет единственное решение:

 , ,…, , (1.13)

где   - определитель, полученный из  заменой i-го столбца на столбец свободных членов.

Метод Крамера применим только для систем с квадратными матрицами.

Метод обратной матрицы

Систему (1.2) можно записать в матричном виде: , см. (1.9). Тогда ее решение имеет вид: , если .

Метод Гаусса

Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестным (1.2).

Если определитель этой системы не равен нулю, то система имеет единственное решение (совместна); если определитель этой системы равен нулю, то данная или не имеет решения (несовместна) или имеет бесконечное множество решений (неопределенна).

Две системы уравнения называют эквивалентными, если они имеют одни и те же решения.

Метода Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных):

Система (1.2) записывается в виде расширенной матрицы (1.4).

Прямой ход. При помощи эквивалентных преобразований матрица (1.4) приводится к верхнему треугольному виду:

   

Обратный ход. Для определения неизвестных , ,…, рассмотрим систему приведенных уравнений. Начиная с нижней строки, последовательно находим неизвестные.


Скалярное произведение векторов