Вычисление производной примеры решения задач Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычитание векторов Скалярное произведение векторов Кривые второго порядка Прямая в пространстве

Матрица примеры решения задач

Теорема Кронекера-Капелли

Для того чтобы система m неоднородных линейных уравнений с n неизвестными была совместной, необходимо и достаточно, чтобы

Доказательство необходимости.

Пусть система (1.13) совместна, то есть существуют такие числа х1=α1, х2=α2, …, хn=αn, что

 (1.15)

Вычтем из последнего столбца расширенной матрицы ее первый столбец, умноженный на α1, второй – на α2, …, n-ый – умноженный на αn, то есть из последнего столбца матрицы (1.14) следует вычесть левые части равенств (1.15). Тогда получим матрицу

ранг которой в результате элементарных преобразований не изменится и . Но очевидно,  и, значит,

Доказательство достаточности.

Пусть  и пусть для определенности не равный нулю минор порядка r расположен в левом верхнем углу матрицы:

Это означает, что остальные строки матрицы  могут быть получены как линейные комбинации первых r строк, то есть m-r строк матрицы можно представить в виде сумм первых r строк, умноженных на некоторые числа. Но тогда первые r уравнений системы (1.13) самостоятельны, а остальные являются их следствиями, то есть решение системы первых r уравнений автоматически является решением остальных уравнений.

Возможны два случая.

1.      r=n. Тогда система, состоящая из первых r уравнений, имеет одинаковое число уравнений и неизвестных и совместна, причем решение ее единственно.

2.      r<n. Возьмем первые r уравнений системы и оставим в левых частях этих уравнений первые r неизвестных, а остальные – перенесем вправо:

 (1.16)

«Свободным» неизвестным xr+1, xr+2, …, xn можно придать какие угодно значения. Тогда соответствующие значения получают неизвестные x1, x2, …, xr. Система (1.13) и в этом случае совместная, но неопределенная.

Замечание. Отличный от нуля минор порядка r, где r<n, будем называть базисным минором. Неизвестные х1, х2, …, хr так же называют базисными, остальные – свободными. Систему (1.16) называют укороченной.

Если свободные неизвестные обозначить хr+1=c1, хr+2=c2, …, хn=cn-r, то базисные неизвестные будут от них зависеть, то есть решение системы m уравнений с n неизвестными будет иметь вид

X = (x1(c1, …, cn-r), x2(c1, …, cn-r), …, xr(c1, …, cn-r), c1, c2, …, cn-r)T, где значок Т означает транспонирование.

Такое решение системы называется общим.

Элементарные преобразования матрицы:

перестановка строк (столбцов);

умножение строки (столбца) на любое отличное от нуля число;

сложение строк (столбцов).

Рангом r матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.

 Матрицы, переходящие друг в друга путем элементарных преобразований, называются эквивалентными.

При помощи элементарных преобразований любую матрицу можно привести к виду: , где на главной диагонали стоит r единиц, а все остальные элементы матрицы равны нулю. Такая матрица называется канонической, ее ранг равен r и совпадает с рангом исходной матрицы.

Рассмотрим систему (1.2). Решением этой системы называется совокупность m значений неизвестных , ,…, при подстановке которых все уравнения системы обращаются в тождества.

Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной, система не имеющая ни одного решения, называется несовместной.

Критерий совместности системы: Для совместности системы (1.2) необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы (1.4) был равен рангу матрицы коэффициентов (1.3).

Если ранг матриц (1.3) и (1.4) совпадает с числом неизвестных системы m, тогда система (1.2) имеет единственое решение и называется определенной.

Если r < m, то первые r строк матрицы (3) линейно независимы, а остальные n-r строк являются их линейной комбинацией. Поэтому достаточно решить первые r уравнений – их решения будут удовлетворять и остальным. «Свободным неизвестным» , ,… можно придавать любые значения, получая при этом соответствующие значения , ,… из системы (1.2). Таким образом, система имеет бесконечное число решений и называется неопределенной. Если же ранг расширенной (1.4) больше r, то система несовместна.

Однородная система всегда совместна, так как имеет, например, нулевое решение: . Для того, чтобы однородная система размера  имела ненулевое решение, необходимое и достаточное, чтобы detA = 0.

Пусть   и  - два различных решения однородной системы. Тогда их линейная комбинация:  тоже является решением.


Скалярное произведение векторов