Вычисление производной примеры решения задач Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычитание векторов Скалярное произведение векторов Кривые второго порядка Прямая в пространстве

Матрица примеры решения задач

Пример. Матричным методом решить систему уравнений

Решение. Вычислим определитель матрицы А.

то есть матрица А невырожденная. Построим обратную матрицу А-1. Вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы А:

Следовательно,

.

Находим теперь решение системы по формуле (1.12).

 то есть x = 3, y = 1, z = -1.

Произвольные системы линейных уравнений

Определения

Пусть задана система m линейных уравнений с n неизвестными общего вида

 (1.13)

или, в матричной форме, А·Х = В,

где

Если В=0, то система называется однородной, в противном случае она называется неоднородной.

Решением системы называется совокупность значений неизвестных х11, х22, …, хn=αn, при подстановке которых все уравнения системы обращаются в равенства.

Система, имеющая хоть одно решение, называется совместной.

Система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной.

Система, имеющая единственное решение, называется определенной.

Система, имеющая более одного решения, называется неопределенной.

Назовем расширенной матрицей системы матрицу, полученную из А добавлением к ней столбца свободных членов системы:

 (1.14)

Так как каждый минор матрицы А является и минором матрицы, но не наоборот, то

Определитель матрицы не изменится, если к i-й строке (столбцу) матрицы А прибавить ее j-ю строку (столбец), умноженную на число.

Если в матрице n-го порядка имеется строка (столбец), все элементы которой равны нулю, кроме одного, то вычисление определителя матрицы n-го порядка сводится к вычислению единственного определителя матрицы порядка (n-1)

Пример: вычислить определитель матрицы А:

Прибавляя к первой строке удвоенную вторую, к третьей – вторую, умноженную на –3, а к четвертой – вторую, умноженную на –2, имеем: .

Получен определитель третьего порядка, который можно свести к вычислению определителя матрицы 2-го порядка.

Итак, .

Квадратная матрица  называется обратной к квадратной матрице А (det ), если .

Элементы  обратной матрицы вычисляются по формулам:

  (1.11)

где   - алгебраическое дополнение элемента  матрицы А, а  - ее определитель. Или, что тоже самое:

  (1.12)

где   - алгебраическое дополнение элемента  матрицы .


Скалярное произведение векторов