Пример. Вычислить ранг матрицы
Решение. Производя последовательно элементарные преобразования, будем иметь
Очевидно
минор 
и ранг матрицы равен двум.
Замечание. Ранг матрицы равен числу ненулевых строк матрицы, полученной после элементарных преобразований исходной матрицы, приводящих ее к такому виду, когда ниже элементов а11, а22, а33, …, аnn стоят нули
Системы n линейных уравнений с n неизвестными
Правило Крамера
Пусть задана система n линейных уравнений с n неизвестными
(1.10)
Составим из коэффициентов при неизвестных определитель и назовем его определителем системы:
Совокупность значений неизвестных xi=ai, i =1, 2, …, n, при подстановке которых уравнения системы обращаются в равенства, назовем решением системы.
Докажем, что если определитель системы (1.10) отличен от нуля, то система имеет, и притом единственное, решение
i= 1, 2, …, n,
где Δi – определитель, получаемый из определителя Δ заменой i-го столбца на столбец свободных членов.
Умножим первое уравнение системы (1.10) на А11, второе – на А21, …, n-ое – на Аn1 и все уравнения сложим. Получим:
x1 (a11A11+a21A21+…+an1An1)+
+x2 (a12A11+a22A21+…+an2An1)+…+ (1.11)
+xn (a1nA11+a2nA21+…+annAn1) =
= b1A11+b2A21+…+bnAn1.
В левой части этого выражения множитель при х1 равен определителю системы согласно теореме разложения, а остальные множители при х2, …, хn равны нулю.
В правой части выражения (1.11) мы имеем разложение по элементам первого столбца определителя
Таким
образом, из системы (1.11) получено уравнение 
и
Домножая теперь уравнения системы (1.10) на алгебраические дополнения элементов второго, третьего и т.д. и, наконец, n-го столбцов поочередно и складывая эти уравнения, получим
…, 
Таким
образом, имеем окончательно 
, 
,…,
Замечание. Правило Крамера при n>3 не имеет практического применения из-за громоздкости вычислений.
Свойства векторного произведения:
1. 
,
2.
, если 
,
или 
, или 
(коллинеарность ненулевых векторов),
3. 
,
4.
(распределительный закон).
Векторные произведения координатных ортов:
,
, 
, 
.
Смешанным произведением векторов 
называется скалярное произведение вектора 
на вектор 
, т.е. 
.
Смешанное произведение 3-х векторов 
, 
, 
есть число, равное
(3.4)
Модуль смешанного произведения равен объему
параллелепипеда, построенного на векторах 
,
, 
.