Вычисление производной примеры решения задач Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычитание векторов Скалярное произведение векторов Кривые второго порядка Прямая в пространстве

Матрица примеры решения задач

Пример. Найти ранг матрицы

Решение. Поменяем местами строки матрицы, поставив последнюю строку на место первой:

Умножим первую строку на –3 и прибавим ко второй. При этом на месте элемента 3 получим 0. Затем умножим первую строку на –2 и прибавим к третьей:

Умножим вторую строку получившейся матрицы на –1 и прибавим к последней, тогда

Умножим теперь вторую строку на –5 и прибавим к последней:

Преобразования матрицы можно прекратить, так как, очевидно, минор , являющийся определителем треугольного вида, равен произведению элементов главной диагонали, то есть отличен от нуля. Следовательно, r (A)=3.

Элементы векторной алгебры

Если вектором называется любая величина, обладающая направлением (скорость, сила и т.д.), то скаляром называется величина, не обладающая направлением (температура, объем и т.д.). (В технических Вузах обычно рассматривается теория свободных векторов, т.е. векторов, которые можно перемещать по линии действия или параллельно самим себе в любую точку пространства.)

Векторы, лежащие на параллельных прямых (или на одной и той же), называются коллинеарными.

Основные векторы получаются путем откладывания в положительном направлении на координатных осях направленных отрезков ОА, ОВ, ОС, равных единице масштаба. Эти векторы называются единичными ортами и обозначаются , , .

Длина вектора – расстояние d между двумя точками  и :

  (3.1) 

Угол между осью координат и вектором , где x,y,z – коэффициенты, равные разности координат точек конца и начала векторов:

С осью ОХ: ,

С осью OY: ,

С осью ОZ: .

Эти косинусы называются направляющими.

Если два вектора  и  коллинеарны, то ,  -  и  равнонаправлены,  - противоположно направлены.

Скалярным произведением 2-х векторов  и  называется число, определяемое равенством:

  (3.2)

где   - угол между векторами  и .

 Свойства скалярного произведения:

1. ,

2. , если , или , или  (ортогональность ненулевых векторов),

3.   (переместительный закон),

4.   (распределительный закон),

5. .

  Скалярные произведния ортов осей координат:

, .

Векторным произведением двух векторов  и  называется вектор , длина которого равна произведению длин векторов–сомножителей на синус угла между ними и направленный перпендикулярно векторам   и  так, что векторы , ,  образуют правую тройку:

 


  (3.3)

 Величина  равна площади S параллелограмма, построенного на векторах  и  (геометрическая интерпретация векторного произведения).

 


Скалярное произведение векторов