Вычисление производной примеры решения задач Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычитание векторов Скалярное произведение векторов Кривые второго порядка Прямая в пространстве

Матрица примеры решения задач

Пример. Найти матрицу, обратную для матрицы

Решение. Вычислим определитель матрицы

Далее найдем алгебраические дополнения элементов матрицы А:

По формуле (1.9) имеем

В заключение перечислим свойства операций над матрицами:

1)       А+В = В+А;

2)       А+(В+С) = (А+В)+С;

3)       (α+β)А = αА+βА, где α и β – числа;
α(А+В) = αА+ αВ; (αβ)А = α(βА);

4)       А(ВС) = (АВ)С; А(В+С) = АВ+АС;

5)       А+0 = А;

6)       АЕ = ЕА = А.

Задание 8

Задача оптимального производства продукции

Предприятие планирует выпуск двух видов продукции I и II, на производство которых расходуется три вида сырья А, В, С. Потребность  на каждую единицу - того вида продукции - того вида сырья, запас , соответствующего вида сырья и прибыль  от реализации единицы - того вида продукции заданы таблицей:

Виды сырья

Виды продукции

Запасы сырья

I

II

А

В

С

прибыль

план (ед.)

Для производства двух видов продукции с планом  и  единиц составить целевую функцию прибыли  и соответствующую систему ограничений по запасам сырья, предполагая, что требуется изготовить в сумме не менее   единиц обоих видов продукции.

Составить оптимальный план  производства продукции, обеспечивающий максимальную прибыль . Определить остатки каждого вида сырья. (Задачу решить симплекс-методом).

Предпоследняя цифра зачетки

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

4

3

5

1

3

2

4

2

1

5

Последняя цифра зачетки

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

3

2

1

4

5

3

1

5

2

4

Решение

Математическая постановка задачи.

Пусть   и  — количество изделий А и В, тогда ресурсы сырья и рабочего времени запишем в виде ограничений—неравенств:

Прибыль от реализации всей продукции составит

Это типичная задача линейного программирования (). Вид данной задачи не канонический, поскольку условия имеют вид неравенств, а не уравнений. Сведем ее к каноническому виду, добавив дополнительные переменные  по числу ограничений—неравенств:

При этом .

Выделение новых переменных не влияет на вид целевой функции. Они будут указывать на остатки ресурсов, не использованные в производстве.

Чтобы свести данную задачу к задаче минимизации целевой функции, функцию   нужно взять со знаком минус:

Запишем условие задачи в виде таблицы:

Так как все , то в качестве начального опорного решения можно взять следующее решение:

Этому решению соответствует значение целевой функции

Оно не оптимально, так как эта величина может быть уменьшена за счет свободных параметров (коэффициенты ипри неизвестных и  в целевой функции отрицательны). Определим базисную переменную, которая первой станет равной 0 при увеличении значения . Для этого вычислим следующие величины:

Наименьшей является величина 53,3, которая соответствует переменной . Определим новое опорное решение:

Значение целевой функции

Это решение уже лучше.

Следующий шаг начнем с выбора нового базиса. Примем переменные   в качестве базисных и перейдем к этому базису. Результаты представлены в следующей таблице:

Этому решению соответствует значение целевой функции

Оно не оптимально, так как эта величина может быть уменьшена за счет свободного параметра  (коэффициент при неизвестном  в целевой функции отрицателен). Определим базисную переменную, которая первой станет равной 0 при увеличении значения . Для этого вычислим следующие величины:

Наименьшей является величина 35, которая соответствует переменной . Определим новое опорное решение:

Значение целевой функции

Это решение еще лучше предыдущего.

Следующий шаг начнем с выбора нового базиса. Примем переменные   в качестве базисных и перейдем к этому базису. Результаты представлены в следующей таблице:

Коэффициенты при свободных неизвестных в целевой функции положительны, поэтому, при их увеличении целевая функция может лишь увеличиваться. Следовательно, решение, полученное на предыдущем шаге, является оптимальным, а значение целевой функции равно

Ответ: Для получение максимума прибыли в 15 у.е. необходимо изготовить 4 изделия I и 1 изделие II. При этом все ресурсы стекла и рабочего времени будут использованы полностью.


Скалярное произведение векторов