Вычисление производной примеры решения задач Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычитание векторов Скалярное произведение векторов Кривые второго порядка Прямая в пространстве

Матрица примеры решения задач

Обратная матрица

Будем называть определителем квадратной матрицы

определитель, составленный из элементов этой матрицы:

.

Определение. Квадратная матрица называется невырожденной (неособенной), если её определитель отличен от нуля, и вырожденной (особенной), если определитель её равен нулю.

Без доказательства примем, что

, то есть определитель произведения квадратных матриц равен произведению определителей этих матриц.

Теорема. Если А – невырожденная матрица, то существует и притом единственная матрица А-1 такая, что

.

Пусть дана невырожденная матрица

с определителем .

Задание 6

1. При измерении в баллах результатов тестирования по истории   и географии  получены следующие пары чисел для четырех школьников: (2, 2), (4, 5), (6, 7), (8, 10). Выберите в качестве эмпирической формулы прямую линию и определите ее параметры методом наименьших квадратов.

2. Проводится исследование спроса на некоторый вид товара. Пробные продажи показали следующие данные о зависимости дневного спроса от цены:

Цена, руб.

10

12

14

16

18

Спрос, ед. товара

91

76

68

59

53

Требуется:

А). Выбрав в качестве эмпирической формулы прямую, определить ее параметры методом наименьших квадратов.

Б). Исходя из данных пункта А) определить спрос при цене 15 руб. за ед. товара.

3. В ситуации, описанной в предыдущей задаче, была предложена другая модель зависимости спроса от цены:

Определить параметры указанной формулы методом наименьших квадратов и сделать вывод о том, какая модель является более адекватной экспериментальным данным.

Решение

1. Запишем сумму квадратов отклонений для всех точек :

Минимум функции  определим, приравняв к нулю частные производные по переменным  и . В результате имеем систему:

После преобразований имеем:

Для решения данной системы заполним следующую таблицу

x

y

x2

xy

10

91

100

910

88

-3

9

12

76

144

912

79

3

9

14

68

196

952

69

1

1

16

59

256

944

60

1

1

18

53

324

954

51

-2

4

Итого:

70

347

1020

4672

24

В результате имеем систему:

Решив ее, имеем: , .

Таким образом, линейная модель данного эксперимента выглядит следующим образом:

Подставив в это уравнение цену x, заполняем столбец  таблицы. Это будет теоретический спрос, определенный по эмпирической формуле.

Далее заполняем столбец , где определяем разницу между теоретическим спросом и реальным . после этого возводим эту разницу в квадрат и заполняем столбец  таблицы.

Определяем ошибку уравнения:

2. Определим спрос при цене 15 руб. Для этого подставим вместо х в уравнение 15 руб. В результате получим: шт.

3. Выберем в качестве модели гиперболу  и определим ее параметры методом наименьших квадратов.

Обозначим . Тогда имеем

Это линейная модель, поэтому неизвестные параметры  и  определим, решив систему уравнений

Для решения данной системы уравнений заполним следующую таблицу:

x

y

z

z2

zy

10

91

0,1000

0,01

9,1000

91

0

0

12

76

0,0833

0,006944

6,3333

77

1

1

14

68

0,0714

0,005102

4,8571

67

-1

1

16

59

0,0625

0,003906

3,6875

59

0

0

18

53

0,0556

0,003086

2,9444

53

0

0

Итого:

70

347

0,3728

0,029039

26,9224

2

В результате имеем систему:

Решив ее, имеем: , .

Таким образом, модель данного эксперимента выглядит следующим образом:

Заполняем столбцы , ,  так же, как и в первом случае с линейной моделью. После этого определяем ошибку уравнения:

Вывод: таким образом, модель в виде гиперболы лучше отображает экспериментальные данные, чем линейная модель, так как для нее ошибка уравнения меньше .


Скалярное произведение векторов