Вычисление производной примеры решения задач Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычитание векторов Скалярное произведение векторов Кривые второго порядка Прямая в пространстве

Матрица примеры решения задач

Метод приведения к треугольному виду заключается в таком преобразовании данного определителя, когда все элементы его, лежащие по одну сторону одной из его диагоналей, становятся равными нулю.

Пример 8. Вычислить определитель

приведением к треугольному виду.

Решение. Вычтем первую строку определителя из остальных его строк. Тогда получим

.

Этот определитель равен произведению элементов главной диагонали. Таким образом, имеем

Математика лекции и примеры решения задач Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной Пусть D — некоторое множество чисел. Если задан закон, по которому каждому числу x из множества D ставится в соответствие единственное определенное число y, то будем говорить, что на множестве D задана функция, которую назовём f. Число y — это значение функции f в точке x, что обозначается формулой y = f(x).

Замечание. Всё рассмотренное выше можно обобщить для определителей n-го порядка.

Матрицы

Операции над матрицами

Определение. Матрицей размера называется прямоугольная таблица из чисел

,

состоящая из m строк и n столбцов.

Матрица размера m ´ m называется квадратной.

Две матрицы считаются равными, если равны их размеры и равны элементы, стоящие на одинаковых местах.

Алгебраическим дополнением  элемента  определителя n-го порядка называется произведение минора  на , т.е. .

 Каждый определитель равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

  (разложение по элементам i-й строки) и

  (разложение по элементам k-го столбца).

 Определитель второго порядка: .

 Свойства определителей:

Определитель квадратной матрицы не изменит значения при транспонировании.

При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак.

Общий множитель элементов любой строки (столбца) можно выносить за знак определителя, т.е. .

Если все элементы i-й строки квадратной матрицы n-го порядка представлены в виде суммы двух слагаемых , ,  то определитель этой матрицы равен сумме определителей матриц, у которых все строки, кроме i-й такие же, как и в данной матрице. i-ая строка у одной из матриц состоит из элементов , а другой – из элементов , т.е.: .

Аналогичное свойство справедливо и в том случае, когда элементы некоторого столбца матрицы представлены в виде суммы двух слагаемых.

Определитель матрицы, имеющий две одинаковые строки (столбца) равен нулю.


Скалярное произведение векторов