Emporio Armani мужские    часы

Фотокамеры Nikon

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

Дипломы, работы на заказ, недорого

 Cкачать    курсовую

Cкачать курсовую

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Вычисление производной примеры решения задач Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычитание векторов Скалярное произведение векторов Кривые второго порядка Прямая в пространстве

Матрица примеры решения задач

Элементы линейной алгебры

Определители

Определители второго порядка

Определение. Выражение

называется определителем 2-го порядка.

Числа – это элементы определителя. Определитель 2-го порядка имеет две строки и два столбца. Индексы, стоящие внизу соответствующего элемента, означают номер строки и номер столбца определителя, на пересечении которых стоит указанный элемент. Например, элемент стоит в первой строке и втором столбце определителя.

Элементы называют элементами главной диагонали определителя, а другие два элемента – соответственно элементами побочной диагонали.

Пример 1. Вычислим определитель

.

Решим ту же систему уравнений методом Гаусса. Для этого выпишем расширенную матрицу системы и приведем основную матрицу системы к треугольному виду или ступенчатому виду, если число уравнений окажется меньшим числа неизвестных. Приведение матрицы к треугольному виду, то есть такому, когда ниже (или выше) главной диагонали все элементы будут нулевые, а на главной диагонали - ненулевые, всегда возможно. Оно основано на следующих элементарных преобразованиях матрицы, соответствующих эквивалентным преобразованиям система:

Перестановка строк матрицы;

Перестановка столбцов;

Умножение всех элементов строки на одно и то же число;

Сложение элементов любой строки с соответствующими элементами любой другой строки;

Вычеркивание получившихся нулевых строк.

Вот решение одной системы методом последовательных исключений неизвестных:

Расширенная матрица 1-й шаг 2-шаг

  Возвратимся теперь от матричной записи к системе уравнений. Из последней строки матрицы следует уравнение , откуда х3 = -3 Подставляя х3 = -3 в последнее уравнение (вторая строка расширенной матрицы) получим  или . Наконец, из первого уравнения системы (первая строка матрицы) найдем  Решение  такое же , как в случае (а). Оно уже проверено.

  Существует модифицированный метод Гаусса, так называемый метод полного исключения неизвестных, в результате которого основная матрица системы преобразуется в каноническую матрицу, на главной диагонали которой остаются единицы, а все остальные элементы обращаются в нули. Таким образом сразу получается решение.

 В основе этого метода лежит следующий алгоритм (строго определенный порядок действий)

Выберем разрешающую строку и в ней разрешающий элемент. Обычно это первый элемент первой строки, считая слева направо. Строки можно целиком переставлять, так что на первое место можно записать любую строку, в которой первый элемент не равен нулю.

  Каждый элемент, разрешающий строки разделим на разрешающий элемент.

Элементы разрешающего столбца заменим нулями во всех строках матрицы, кроме разрешающей, где он буден равен единице.

Элементы столбцов, Которые были разрешающими на предыдущих шагах исключения, переписываем без изменения.

Остальные элементы пересчитаем по следующему правилу «прямоугольника»:

 

Где П – пересчитываемый элемент, Р – Разрешающий, D1 и D2 – “диагональные”, И – искомый. Все эти элементы каждый раз должны быть вершинами воображаемого прямоугольника, образованного параллельными строками и столбцами. Искомый элемент записываем на месте пересчитываемого.

 Вернемся к расширенной матрице данной системы и выполним эквивалентной преобразования по предложенной выше схеме полного исключения неизвестных. Рекомендуем читателю все пересчеты коэффициентов по правилу «четырехугольника» записывать подробно. 

Данная расширенная матрица 1-й шаг 2-й шаг

  3 - й шаг 4 – й шаг

  Если в последней матрице вернуться к записи уравнений, то получим

, , , а это и есть решение данной системы.

Замечания:  1. Кружками обведены разрешающие элементы.


Скалярное произведение векторов