Векторная алгебра и аналитическая геометрия примеры решения задач

 Emporio Armani мужские    часы

Фотокамеры Nikon

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Дифференцируемость функции
комплексной переменной
Правила интегрирования
Множества математическая логика
Предел и непрерывность функции
Вычислить производную функции
Неопределенный интеграл
Расчет электрических цепей
постоянного и переменного тока
Цепи постоянного тока
Теория переменных токов
Электрические машины
законы Кирхгофа
Резонанс напряжений
резонанс токов
Трехфазная цепь
Соединение в треугольник
Определение гармоник
преобразования Фурье
Расчет переходного процесса
в цепи RL
Моделирование электрических
цепей
Моделирование цепей переменного
тока
Резонансные цепи
Моделирование переходных
процессов
Моделирование схем с
электрическими машинами
Экологические проблемы
эксплуатации АЭС
Cвойства атомных ядер
Волновая и квантовая оптика
Полигон Новая Земля
Семипалатинский полигон
Радиационная обстановка
Институт стратегической
стабильности
Советский атомный проект
Термоядерная бомба
Сверхмощные американские
испытания
Первый в истории взрыв
Появлению сверхмощных зарядов
Эпоха холодной войны
Радиационная обстановка
Испытания в атмосфере
Следы наземного взрыва
санитарно-защитная зона
Контроль за облучением населения
Организация системы контроля
Глобальные радиоактивные осадки
гамма-излучение
самолет-лаборатория
радиационной разведки
Радиевый институт им. В.Г. Хлопина
справочные материалы
ядерный щит
государственная экспертиза
Вспоминают ветераны
Моратории на ядерные испытания
Ядерно-взрывные технологии
излучения в малых дозах
Основные факторы риска
Институт клеточной биологии
Факторы нерадиационной природы
химические факторы
допороговые дозы
гамма-спектрометрический анализ
взрывозащитная камера
хранилища радиоактивных отходов
Проектные работы
академик РАН А.Д. Сахаров
подводные ядерные взрывы
Регистрация параметров
ядерного взрыва
световое излучение
Авиационная регистрация
Аппаратура для регистрации
Атомное и термоядерное оружия
Развитие ядерной индустрии
Ядерная программа Россия
Мирная атомня энергетика
Атомная бомбардировка
Ядерная программа США
Индийская ядерная программа
Испытания ядерного оружия

Линейные операции над векторами Линейными операциями называют операции сложения и вычитания векторов и умножения вектора на число.

Векторы. Основные понятия Вектором называется направленный отрезок. Обозначается вектор , , , , AB, a (А – начало вектора, В – его конец).

Вычитание векторов. Разностью векторов и называется такой вектор , который в сумме с вектором дает вектор : Û .

Умножение вектора на число. Произведением вектора на действительное число называется вектор (обозначают ), определяемый следующими условиями: 1)      , 2)      при и при .

Проекция вектора на ось Углом между двумя ненулевыми векторами и называется наименьший угол ( ), на который надо повернуть один из векторов до его совпадения со вторым. Предварительно нужно привести векторы к общему началу О

Пример При каком условии ?

Координаты вектора Рассмотрим декартову прямоугольную систему координат Oxyz. Обозначим , , – единичные векторы, направленные соответственно вдоль осей Ox, Oy, Oz (орты осей). Эти векторы называются декартовым прямоугольным базисом в пространстве.

Направляющие косинусы вектора Направление вектора в пространстве определяется углами , которые вектор образует с осями координат. Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора: , , .

Деление отрезка в данном отношении

Пример. Даны вершины треугольника , , . Найти точку пересечения медиан этого треугольника и орт вектора

Пример. Показать, что точки , , лежат на одной прямой, причем A – между B и C.

Скалярное произведение векторов Скалярным произведением двух векторов (обозначается или ) называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: , где .

Пример. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах и .

Смешанное произведение векторов Смешанным, или векторно-скалярным произведением трех векторов (обозначается ) называется произведение вида .

Теорема. Для того чтобы три вектора были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось нулю.

Прямая на плоскости Пусть – заданная точка на прямой , – вектор, перпендикулярный прямой , его называют нормальным вектором прямой, и пусть – произвольная точка прямой . Пусть – заданная точка на прямой , – вектор, параллельный прямой, его называют направляющим вектором прямой, и пусть – произвольная точка прямой Пусть заданная точка на прямой , – угол наклона прямой к оси ,

Угол между двумя прямыми. Пусть прямые и заданы соответственно уравнениями , , где ,

Расстояние от точки до прямой. Пусть прямая на плоскости задана уравнением и точка имеет координаты

Пример. Прямая задана уравнением . Составить уравнения а) прямой , проходящей через точку параллельно прямой ; б) прямой , проходящей через начало координат перпендикулярно прямой .

Пример. В треугольнике с вершинами , , составить уравнения медианы , высоты , найти длину высоты

Кривые второго порядка Кривой второго порядка называется линия, определяемая уравнением второй степени относительно текущих декартовых координат х, у

Уравнение содержит только четные степени х, у, следовательно, кривая симметрична относительно осей координат.

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Полагая в каноническом уравнении у = 0, найдем точки пересечения гиперболы с осью ОХ: х = ±а. При х = 0 уравнение не имеет решений, то есть с осью ОУ гипербола не пересекается. Точки А1(-а; 0) и А2(а; 0) называются вершинами гиперболы. Фокальная ось (ось, на которой лежат фокусы) называется действительной осью гиперболы, а перпендикулярная ей ось – мнимой осью.

Из симметрии гиперболы относительно осей координат следует, что этим же свойством обладает прямая Прямые и называются асимптотами гиперболы.

Параболой называется множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.

Уравнение содержит у лишь в четной степени, следовательно, кривая симметрична относительно оси ОХ. При х = 0 у = 0, то есть парабола проходит через начало координат.

Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид

Полярная система координат на плоскости определяется заданием некоторой точки О, называемой полюсом, луча Ор, исходящего из этой точки и называемого полярной осью, и единицы масштаба

Пример. Построить в полярной системе координат точки

Пример. Дано полярное уравнение линии Построить эту линию по точкам. Найти ее декартово уравнение, расположив систему Охy

Пример. Найти полярное уравнение окружности

Неполные уравнения плоскостей Если в уравнении плоскости какие-либо из коэффициентов равны нулю, то получится неполное уравнение плоскости.

Прямая в пространстве Прямую в пространстве можно задать уравнениями, аналогичными уравнениям прямой на плоскости

Пример. Записать канонические уравнения прямой, заданной общими уравнениями

Уравнение такого вида может определять: 1) эллипс (в частности, окружность), 2) гиперболу, 3) параболу, 4) пару прямых (параллельных, пересекающихся либо совпадающих), 5) точку или не определять никакой линии.

Взаимное расположение прямой и плоскости

Вершины четырехугольника находятся в точках A(1, 2), B(7,– 6), C(11,–3), D(8, 1). Показать, что ABCD – трапеция. Найти длины оснований трапеции, ее площадь и cosÐDAB.

Решение.  Находим координаты векторов (6,–8), (4, 3), (–3 , 4), (7,–1). Проверяем векторы, определяемые противоположными сторонами четырехугольника на коллинеарность:

  – = – – верно, значит коллинеарен .

 = – неверно, значит неколлинеарен .

Таким образом, в четырехугольнике две противоположные стороны коллинеарны, а две – нет. Значит это – трапеция, и основаниями являются  AB и CD. Находим длины сторон:

 ½½ = = 10,

и аналогично ½½= 5; ½½= 5; ½½= 5 .

Обозначим a =Ð BAD.

 cos a = = = ,

следовательно Ð BAD = 45o. Не во всех вариантах может получиться табличный угол, поэтому далее действуем так: зная cos a , находим

 sin a = = .

Tогда h =½½· sin a = 5. Зная высоту и длины оснований находим площадь: S = (AB + CD)· h = . 

Ответ: ½½ = 10, ½½= 5, cos a = , SABCD = .

6. Дано ½½= 10, ½½ = 3, a =Ð(, ) = 30o. Найти площадь треугольника, построенного на векторах = – 3 и = 2 + 5, отложенных из одной точки. Найти длину медианы, исходящей из этой же точки.

Решение. Площадь параллелограмма построенного на векторах и , численно равна модулю их векторного произведения. Площадь треугольника, построенного на этих векторах равна половине площади параллелограмма: SΔ= ½ ´ ½. Пользуясь свойствами и определением векторного произведения находим

½ ´ ½=½( – 3 )´(2 + 5 )½=½ ´ + 5 ´ – 3´ – 15 ´ ½=

 =½ + 5 ´ + 3 ´ +15½= 8½ ´ ½= 8½½·½½·sin a =

 = 8·10·3· = 120 .

 SΔ= ½ ´ ½= 60 .

Если AD – медиана DABC, то = ( +). В нашем случае, если

 – вектор, задающий медиану, то = ( + ) = +.

Нам требуется найти длину этого вектора. Самое первое следствие из определения скалярного произведения: скалярный квадрат вектора 2 = · равен квадрату его длины ½½2. Имеем

½½2 = · = ( + )·( + ) = 2 + 3 · + 2=

 = ½½2+ 3½½·½½ · cos a +½½2 =

 = ·100 + 3·10·3· + 9 = 234 + 45.

Значит, ½½ = .

 Ответ: SΔ= 60, длина медианы равна .

Подчеркнем, что ни в коем случае нельзя использовать обозначение 2 вместо ´ ; 2 означает · . Особо обращаем внимание, что при решении использовалось свойство  ´ = – ´ .

7. Докажите, что векторы (10, 11, 2) и (10,–10, 5) отложенные из одной точки, можно взять в качестве ребер куба, и найдите третье ребро куба, исходящее из этой же точки.

Решение. Для того, чтобы векторы и могли служить ребрами куба, они должны быть друг другу перпендикулярны и иметь одинаковую длину. Проверяем:

  · = 10·11 + 11·(–10) + 2· 5 = 0 Þ ^ ,

 | | = = 15,

 | | = = 15.

Вектор , задающий третье ребро куба, должен быть перпендикулярен и и должен иметь одинаковую с ними длину.

Согласно определению векторного произведения вектор ´ будет перпендикулярен и . Выясним, какую он будет иметь длину: 

 ½ ´½=½½ ·½½×sinÐ( , ) = 15·15· sin 90o = 225.

Искомый вектор должен иметь длину 15. Следовательно, = ´ . Находим 

´ = = 75i – 30j – 210k , (5, –2,–14). 

Очевидно, что вектор = – тоже удовлетворяе т условиям задачи.

 Ответ: (5, –2,–14), (–5, 2,14).

8. Даны координаты  вершин треугольной пирамиды SABC: A(4, 0, 1), B(5,–1, 1), C(4, 7,–5), S(7, 5, 2). Найти объем пирамиды, площадь основания ABC и высоту (с помощью векторного и смешанного произведений). Найти угол ÐBAC. Укажите, какой вектор перпендикулярен основанию. Изобразите данную пирамиду в декартовой системе координат. 

Решение.Находим координаты трех векторов, лежащих на ребрах пирамиды и исходящих из одной вершины:

 (1,–1, 0), (0, 7,– 6), (3, 5, 1).

Модуль смешанного произведения этих векторов равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Объем же пирамиды составляет 1/6 от объема параллелепипеда:  V= ½½.

Смешанное произведение можно вычислить так:

ощади основания нам понадобится векторное произведение ´, то намного проще воспользоваться определением смешанного произведения: =(´)· . При этом, вероятность арифметической ошибки будет намного меньше. Рекомендуем для проверки правильности вычислений использовать оба способа.´ = =i –  j + k = 6i + 6j + 7k.

SΔABC = ½´½= = .

 (´)· = 6×3 + 6×5 + 7×1 = 55. V = ½(´½= .

C другой стороны, V = SΔABC ·h . Отсюда h = = = 5 .

Согласно определению векторного произведения вектор  ´ перпендикулярен и . Поэтому вектор = ´ будет перпендикулярен основанию пирамиды; (6, 6, 7). Угол ÐBAC ищется так же, как и в задаче 5.

Построим изображение данной пирамиды в декартовой системе координат Оxyz.

 


Ответ: V = , SΔABC = , h = 5, (6, 6, 7).

9. Вычислить площадь треугольника ABC, если вершина A находится в полюсе, а две другие имеют заданные полярные координаты: B(6, ), C(4, ). Найти длину BC. Изобразить данный треугольник.

 ÐBAC = j1– j2 = – = , 

AB = 6, AC = 4.

Тогда 

 SΔABC = AB×AC×sinÐBAC = ×6×4×sin = 12 × = 6.

По теореме косинусов

  BC2 = AB2 + AC2 – 2×AB×AC×cosÐBAC = 36 + 16 – 2×6×4×(– ) = 76.

 Ответ: SΔABC = 6 , BC = = 2.

10. Новая декартова СК получена из старой переносом начала в точку O¢(2,–1) и поворотом на угол  a = arccos .

а) Выпишите формулы, выражающие новые координаты через старые. Найдите новые координаты точки A, если известны её старые координаты: A(6, 2).

б) Выпишите формулы, выражающие старые координаты через новые. Найдите старые координаты точки B, если известны её новые координаты: B(5, 5).

Решение. а) Новые координаты выражаются через старые по формулам

x¢= (x – a)×cos a + (y – b)×sin a,

  y¢= –(x – a)×sin a + (y – b)×cos a,

где  (a, b) – координаты точки O¢, a – угол поворота координатных осей. Зная cos a находим  sin a и подставляем в формулы:

x¢= (x – 2) + (y + 1),

 y¢= – (x – 2) + (y + 1).

Для точки  A(6, 2)Oxy находим x¢= 5, y¢= 0. Значит A(5, 0)O¢x¢y¢.

б) Старые координаты выражаются через новые по формулам

x = x¢×cos a – y¢×sin a + a, 

 y = x¢×sin a + y¢×cos a + b.

В нашем случае

x = x¢ – y¢ + 2, 

 y = x¢ + y¢ – 1.

Подставляя сюда координаты точки B(5, 5)O¢x¢y¢ находим B(3, 6)Oxy .

Ответ: A(5, 0)O¢x¢y¢,  B(3, 6)Oxy .

Ядерные испытания в Арктике Взрыв сверхмощной советской термоядерной бомбы Основные факторы риска Облучение людей Регистрация параметров ядерного взрыва