Вычисление предела. Примеры решения задач

 Emporio Armani мужские    часы

Фотокамеры Nikon

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Дифференцируемость функции
комплексной переменной
Правила интегрирования
Множества математическая логика
Предел и непрерывность функции
Вычислить производную функции
Неопределенный интеграл
Расчет электрических цепей
постоянного и переменного тока
Цепи постоянного тока
Теория переменных токов
Электрические машины
законы Кирхгофа
Резонанс напряжений
резонанс токов
Трехфазная цепь
Соединение в треугольник
Определение гармоник
преобразования Фурье
Расчет переходного процесса
в цепи RL
Моделирование электрических
цепей
Моделирование цепей переменного
тока
Резонансные цепи
Моделирование переходных
процессов
Моделирование схем с
электрическими машинами
Экологические проблемы
эксплуатации АЭС
Cвойства атомных ядер
Волновая и квантовая оптика
Полигон Новая Земля
Семипалатинский полигон
Радиационная обстановка
Институт стратегической
стабильности
Советский атомный проект
Термоядерная бомба
Сверхмощные американские
испытания
Первый в истории взрыв
Появлению сверхмощных зарядов
Эпоха холодной войны
Радиационная обстановка
Испытания в атмосфере
Следы наземного взрыва
санитарно-защитная зона
Контроль за облучением населения
Организация системы контроля
Глобальные радиоактивные осадки
гамма-излучение
самолет-лаборатория
радиационной разведки
Радиевый институт им. В.Г. Хлопина
справочные материалы
ядерный щит
государственная экспертиза
Вспоминают ветераны
Моратории на ядерные испытания
Ядерно-взрывные технологии
излучения в малых дозах
Основные факторы риска
Институт клеточной биологии
Факторы нерадиационной природы
химические факторы
допороговые дозы
гамма-спектрометрический анализ
взрывозащитная камера
хранилища радиоактивных отходов
Проектные работы
академик РАН А.Д. Сахаров
подводные ядерные взрывы
Регистрация параметров
ядерного взрыва
световое излучение
Авиационная регистрация
Аппаратура для регистрации
Атомное и термоядерное оружия
Развитие ядерной индустрии
Ядерная программа Россия
Мирная атомня энергетика
Атомная бомбардировка
Ядерная программа США
Индийская ядерная программа
Испытания ядерного оружия

Предел функции Совокупность значений некоторых величин, как правило, лишенных физического содержания, представляет собой некоторые числовые множества. Будем обозначать множества большими буквами латинского алфавита: А,В,..,Х ,У .

Окрестностью О (а) точки а называется любой интервал a < x < b, окружающий эту точку, из которого, как правило, удалена сама точка а.

Пример. Доказать, что  (2х +1) = 7.

Пример . Функция у = sin х ограничена на всей числовой оси, так как . Функция  не ограничена на множестве, содержащем точку х = 0.

Односторонние пределы Любой интервал (a, а), правым концом которого является точка а, называется левой окрестностью точки а.  Аналогично любой интервал (a, b), левым концом которого является точка а, называется ее правой окрестностью.

Пример. Функция f(x) = x2 является бесконечно малой при x®0, а  g (x) = бесконечно большой (при x ¹ 0).

  Замечание. Если , то в силу определения предела функции получаем: ïf(x)-Aï<e при xÎ O(а, б), что означает, что f(x)A является бесконечно малой при x® a. Тогда, полагая f(x)-A=a(x), имеем f(x) = A + a(x), где a(x) ® 0 при x ® a.

Рассмотрим на примерах основные приёмы раскрытия неопределенностей

Пример . Найти Пример. Найти пределы: , ,

Некоторые признаки существования предела функции Не всякая функция имеет предел, даже будучи ограниченной. Например, sin x при x ® ¥ предела не имеет, хотя £ 1.  Укажем два признака существования предела функции.

Первый и второй замечательные пределы

Теорема. Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге, выраженной в радианах, равен единице, то есть   .  Этот предел называют первым замечательным пределом. С его помощью вычисляют пределы выражений, содержащих тригонометрические функции.

Непрерывность функции Функция f(x), определенная на множестве Х, называется непрерывной в точке , если

Пример. Функция   является непрерывной справа в точке х = 0, слева же от этой точки она вообще не определена.

Точка разрыва функции, не являющаяся точкой разрыва первого рода или точкой устранимого разрыва, является точкой разрыва второго рода.

  Все элементарные функции непрерывны в области определения Так что  всюду непрерывна, так как всюду определена, а, например, функция  разрывна в точке .

Теорема Больцано-Коши об обращении функции в нуль.

Взаимное расположение двух прямых на плоскости.

В этом параграфе для удобства изложения будем считать, что совпадающие прямые – это частный случай параллельных.

Пусть две прямые на плоскости заданы общими уравнениями:

 l1: A1x + B1y + C1 = 0 , 

 l2: A2x + B2y + C2 = 0 .

Тогда мы сразу можем сделать вывод, что (A1, B1) и (A2, B2) – это векторы нормали к l1 и l2.

Теорема 2. 1. l1½½ l2 и l1¹ l2 Û = ¹ .

2. l1= l2 Û = = .

3.  l1^ l2 Û A1A2 + B1B2 = 0.

4. угол между l1 и l2 вычисляется по формуле 

 cos a = = . (16)

Доказательство. 1, 2. Очевидно, что l1½½ l2 Û ½½ , а по второму признаку коллинеарности векторов это равносильно

 = = l . (*)

При этом, прямые будут совпадать Û у них есть общая точка Mo(xo, yo), т. е. если одновременно выполняется

 A1xo + B1yo + C1 = 0, 

 A2xo + B2yo + C2 = 0.

Вычтем из первого равенства второе, домноженное на l :

 (A1– lA2)xo + (B1– lB2)yo + C1– lC2 = 0. 

В силу (*) обе скобки равны нулю Þ C1– lC2 = 0 Û C1/C2 = l. (**) Объединяя (*) и (**), получаем требуемый результат.

Обратно, если выполнено условие пункта 2, то уравнения прямых l1 и l2 пропорциональны, т.е., разделив первое уравнение на некоторое число l, мы получим второе уравнение. Значит эти уравнения равносильны и определяют на плоскости одно и то же множество.

3, 4. Напомним, что углом между двумя прямыми называется меньший из двух углов, которые образуются при их пересечении. Таким образом, угол a между прямыми находится в пределах 0 £ a £ p/2.

Пусть b =Ð(, ). Тогда 0 £ b £ p.

Очевидно, что b  совпадает с одним из двух углов, которые образуют прямые при пересечении.

1 случай: 0 £ b £ p/2. Тогда a = b Þ

cos a = cos b = .

2 случай: p/2 < b £ p. Тогда a = pb и cos b < 0 Þ

 cos a = cos (pb) = – cos b =

 =½ cos b½ = .

Эта формула подойдет и к первому

случаю: неотрицательную величину модулем не испортишь. Последнее равенство в (16) – эта та же формула, только расписанная в координатах. В частности, из (16) следует, что l1^ l2 Û · = 0 Û A1A2 + B1B2 = 0.

Упражнение 1. Прямые на плоскости могут быть заданы не только общим уравнением. После изучения темы «Взаимное расположение прямой и плоскости» вы легко напишите условия параллельности и совпадения двух прямых, одна из которых задана каноническим или параметрическим уравнением, а вторая – общим уравнением.

Упражнение 2. Самостоятельно напишите условия параллельности и совпадения двух прямых, заданных уравнениями с угловым коэффициентом.

Теорема 2. Пусть две прямые на плоскости заданы уравнениями с угловым коэффициентом

 l1: y = k1x + q1, l2: y = k2 x + q2.

Тогда угол между ними вычисляется по формуле

 tg q = .

Доказательство. Пусть k1= tg a1, k2 = tg a2 , а q1 и q2  – углы, которые образуются при пересечении прямых (см. чертеж). Тогда q1= ba, и, если q1£ p/2, то он будет считаться углом между l1 и l2. В этом случае tg q1³ 0.

Находим:

 tg q1= tg(ba) = = .

Если q1> p/2 , то между прямыми считается q2 = pq1. Тогда 

 tg q2 = tg(pq1) = – tg q1=½tg q1½ = .

Эта формула подойдет и к первому случаю.

Заметим, что если убрать в числителе модуль, то получится формула,  по которой можно вычислить ориентированный угол от l1 до l2, (отсчитываемый против часовой стрелки). Данный угол может находиться в пределах – p £ q £ p.

 

Уравнение прямой в нормальной форме. Расстояние  от точки до прямой.

Определение. Говорим, что общее уравнение прямой

  Ax + By + C = 0 , (14)

имеет нормальную форму, если A2+B 2 = 1. Это равносильно тому, что вектор (A, B) – единичный.

Если уравнение (14) не имеет нормальной формы, то мы можем привести его к этой форме, разделив на :

 x + y + = 0.

Тогда 2 + 2 = 1.

Теорема 3. Пусть прямая l определяется уравнением  (14) в нормальной форме. Тогда расстояние от точки M(x1, y1) до прямой вычисляется по формуле

 h =½Ax1+ By1+ C½ . (17)

Следствие. Если прямая определяется произвольным уравнением вида (14), то

 h = . (17¢ )

Доказательство. Пусть (A, B) – вектор нормали к l. Поскольку уравнение имеет нормальную форму, то ½½ = 1.  Пусть Mo(xo, yo) – произвольная точка на прямой. Опустим перпендикуляр MN

на прямую l . Пусть a =Ð( , ), b =ÐMMoN .

1 случай. Точка M и вектор лежат в одной полуплоскости относительно прямой  l. Тогда

 h =½MN½=½MMo½·sin b =½½·sin( – a) =

 =½½·cos a·½½= ·

(мы домножили на ½½, поскольку эта величина равна единице). Находим, что (x1– xo, y1– yo) Þ

  h = A(x1– xo) + B(y1– yo) = Ax1+By1+C – (Axo+Byo+C)

(мы добавили и отняли  C ). Поскольку MoÎ l, то выражение в скобках равно нулю, и мы получаем

 h = Ax1+ By1+ C.

2 случай. Точка M и вектор лежат в разных полуплоскостях относительно прямой l. Тогда b = ap/2 Þ sin b = – cos a и те же самые вычисления дают

 h = – · = –Ax1 – By1 – C.

Поскольку  h – это расстояние, то h ³ 0. Это

значит, что во втором случае Ax1+ By1+ C < 0 (равенство исключается, т.к. MÏ l). Поэтому

 h =½Ax1+ By1+ C½ .

Эта формула подойдет и к первому случаю.

Попутно мы выяснили, что знак выражения Ax1+ By1+ C зависит от того, в какой полуплоскости находится точка M. Это позволяет для двух данных точек M1, M2 выяснить, лежат ли они в одной полуплоскости относительно прямой  l или в разных (Û пересекает отрезок  M1M2 прямую l или нет).

§5. Уравнение прямой в полярных координатах.

Пусть на плоскости заданы прямая l и полярная система координат, OP – полярная ось. Опустим перпендикуляр ON из полюса на прямую l. Обозначим p =½ON½ – его длина, a – ориентированный угол между OP и ON. Пусть M(r, j) – произвольная точка прямой.

Тогда из DOMN находим

 p = r·cos(aj) или p = r·cos(ja).  (18) 

Поскольку косинус четная функция, то достаточно только первого уравнения.

Обратно, если координаты точки M(r, j) удовлетворяют (18), то DOMN – прямоугольный Þ MÎ l.

Итак, (18) представляет собой уравнение прямой в полярных координатах.

Введем теперь декартову СК так, чтобы Ox­­ OP. Уравнение (18) можно переписать так:

  r cos j cos a + r sin j sin a – p = 0.

Согласно формулам перехода r·cos j = x, r·sin j = y Þ

 x cos a + y sin a – p = 0. (19) 

Это уравнение называют нормальным уравнением прямой. Еще раз отметим геометрический смысл используемых в этом уравнении параметров:  p – это длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а a – ориентированный угол между осью Ox и этим перпендикуляром. Поскольку cos2a + sin2a = =1, то это уравнение имеет нормальную форму, как это было определено в предыдущем параграфе.

Упражнение. Пусть две прямые заданы своими уравнениями в полярных координатах: l1: p1 = r·cos(a1 – j),  l2: p2 = r·cos(a2 – j).  Выпишите условия параллельности и совпадения этих прямых, а также найдите угол между ними. Найдите, чему равно расстояние между l1 и l2, если они параллельны.

 

Пучок прямых.

Пусть две несовпадающие прямые на плоскости заданы своими общими уравнениями:

 l1: A1x + B1y + C1 = 0 , 

 l2: A2 x + B2y + C2 = 0 .

Рассмотрим совокупность всех прямых, которые задаются различными уравнениями вида

 (lA1+mA2) x + (lB1+mB2) y + lC1+ mC2 = 0, (20)

где l  и m – числа не равные нулю одновременно. Это множество называется пучком прямых. Очевидно, при l = 1, m = 0 мы получим уравнение прямой l1, а при l = 0, m = 1 – уравнение прямой l2. Таким образом, прямые l1 и l2 тоже входят в пучок.

Теорема 4. 1. Если прямые l1 и l2 пересекаются в точке Mo, то определяемый ими пучок прямых, состоит из всех прямых, проходящих через Mo.

2. Если l1½½ l2 , то определяемый этими прямыми пучок состоит из всех параллельных им прямых.

Доказательство. 1. Перепишем (20) в виде

 l(A1x + B1y + C1) + m(A2 x + B2 y + C2) = 0.  (20¢)

Пусть Mo(xo, yo) = l1I l2. Тогда ее координаты удовлетворяют уравнениям обеих прямых. Подставим ее координаты в (20¢):

 l(A1xo+ B1yo+ C1) + m(A2 xo+ B2 yo+ C2) = 0.

Поскольку обе скобки должны быть равны нулю, то мы получаем верное равенство независимо от l и m. Таким образом, все прямые пучка (20) проходят через Mo.

Покажем, что в пучок входят все прямые, проходящие через Mo. Пусть M(x1, y1) – произвольная точка плоскости, отличная от Mo. Подставим ее координаты в (20¢) и обозначим

 X= A1x1+ B1y1+ C1, Y = A2 x1+ B2 y1+ C2.

 Получим уравнение

 lX + mY= 0 (*)

относительно неизвестных  l и m. Это уравнение всегда имеет решение (lo, mo). При l=lo и m=mo уравнение (20) будет задавать прямую, проходящую через M.

2. Пусть l1½½ l2 . Тогда выполнено

 = = k .

Пусть  l – произвольная прямая из пучка (20). Применим к ней признак параллельности с прямой l2:

 = Û l + m = l + m Û lk + m = lk + m ,

т.е. имеем верное равенство. Значит l½½ l2 .

Покажем, что в пучок входят все прямые параллельные l1 и l2. Пусть M(x1, y1) – произвольная точка плоскости, не лежащая ни на l1 , ни на l2. Подставив ее координаты в (20¢) также получим уравнение (*) относительно неизвестных l и m , где X и Y оба ненулевые. При l и m , удовлетворяющих (*) уравнение (20) будет задавать прямую, проходящую через M.

Если все прямые пучка пересекаются в точке Mo, то точка Mo называется центром пучка, и пучок прямых называется собственным или центральным. Если все прямые пучка параллельны друг другу, то пучок называется нецентральным или несобственным.

 

Ядерные испытания в Арктике Взрыв сверхмощной советской термоядерной бомбы Основные факторы риска Облучение людей Регистрация параметров ядерного взрыва