Матрица примеры решения задач

 Emporio Armani мужские    часы

Фотокамеры Nikon

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Дифференцируемость функции
комплексной переменной
Правила интегрирования
Множества математическая логика
Предел и непрерывность функции
Вычислить производную функции
Неопределенный интеграл
Расчет электрических цепей
постоянного и переменного тока
Цепи постоянного тока
Теория переменных токов
Электрические машины
законы Кирхгофа
Резонанс напряжений
резонанс токов
Трехфазная цепь
Соединение в треугольник
Определение гармоник
преобразования Фурье
Расчет переходного процесса
в цепи RL
Моделирование электрических
цепей
Моделирование цепей переменного
тока
Резонансные цепи
Моделирование переходных
процессов
Моделирование схем с
электрическими машинами
Экологические проблемы
эксплуатации АЭС
Cвойства атомных ядер
Волновая и квантовая оптика
Полигон Новая Земля
Семипалатинский полигон
Радиационная обстановка
Институт стратегической
стабильности
Советский атомный проект
Термоядерная бомба
Сверхмощные американские
испытания
Первый в истории взрыв
Появлению сверхмощных зарядов
Эпоха холодной войны
Радиационная обстановка
Испытания в атмосфере
Следы наземного взрыва
санитарно-защитная зона
Контроль за облучением населения
Организация системы контроля
Глобальные радиоактивные осадки
гамма-излучение
самолет-лаборатория
радиационной разведки
Радиевый институт им. В.Г. Хлопина
справочные материалы
ядерный щит
государственная экспертиза
Вспоминают ветераны
Моратории на ядерные испытания
Ядерно-взрывные технологии
излучения в малых дозах
Основные факторы риска
Институт клеточной биологии
Факторы нерадиационной природы
химические факторы
допороговые дозы
гамма-спектрометрический анализ
взрывозащитная камера
хранилища радиоактивных отходов
Проектные работы
академик РАН А.Д. Сахаров
подводные ядерные взрывы
Регистрация параметров
ядерного взрыва
световое излучение
Авиационная регистрация
Аппаратура для регистрации
Атомное и термоядерное оружия
Развитие ядерной индустрии
Ядерная программа Россия
Мирная атомня энергетика
Атомная бомбардировка
Ядерная программа США
Индийская ядерная программа
Испытания ядерного оружия

Пример. Вычислить определитель: по правилу треугольника.

Определители второго порядка Определение. Выражение называется определителем 2-го порядка.

Определители 3-го порядка Определение. Выражение

называется определителем 3-го порядка.

Алгебраическим дополнением элемента определителя 3-го порядка называется минор этого элемента, взятый со знаком плюс, если элемент стоит на пересечении строки и столбца с четной суммой номеров, и со знаком минус, если элемент стоит на пересечении строки и столбца с нечетной суммой номеров.

Пример. Вычислить определитель , разлагая его по элементам второй строки.

Определитель в правой части формулы называют транспонированным по отношению к определителю в левой части этой формулы. Если две строки (столбца) определителя равны, то определитель равен нулю. Если элементы какого-либо ряда определителя пропорциональны элементам параллельного ряда, то определитель равен нулю.

Пример. Вычислить определитель , используя свойства определителей.

Определители 4-го порядка. Методы их вычисления

Метод понижения порядка определителя основан на обращении всех, кроме одного, элементов определителя в нуль с помощью свойств определителей. Метод приведения к треугольному видузаключается в таком преобразовании данного определителя, когда все элементы его, лежащие по одну сторону одной из его диагоналей, становятся равными нулю. Суммой матриц размера называется матрица того же размера, каждый элемент которой равен сумме соответственных элементов матриц A и B:

Пример. Вычислить произведение матриц и .

Решение. Согласно определению произведение матриц получаем так: умножаем элементы первой строки матрицы A на соответствующие элементы первого столбца матрицы B, произведения складываем и ставим в первую строку и первый столбец матрицы-произведения. Умножаем далее элементы первой строки матрицы A на элементы второго столбца матрицы B, произведения складываем и ставим в первую строку и второй столбец матрицы-произведения и т.д. Матрицу, все элементы которой равны нулю, мы будем называть нулевой .

Пример . Пусть . Найти значение многочлена

Квадратная матрица называется невырожденной (неособенной), если её определитель отличен от нуля, и вырожденной (особенной), если определитель её равен нулю.

Рассмотрим матрицу,составленную из алгебраических дополнений к элементам матрицы А и называемую присоединенной к матрице А. Отметим, что алгебраические дополнения к элементам квадратной матрицы находят так же, как к элементам ее определителя. В присоединенной матрице алгебраические дополнения элементов строки стоят в столбце с таким же номером.

Пример. Найти матрицу, обратную для матрицы

Уравнение плоскости в пространстве.

Плоскость  p в пространстве можно задать

а) с помощью точки AoÎ p и ненулевого вектора ^p; тогда можем написать, что p ={M½ ^}; (*)

б) с помощью точки Ao Î l и двух неколлинеарных векторов и , параллельных p;

в) с помощью трех точек Ao, A1, A2Î p , не лежащих на одной прямой.

Теорема 4. 1. Плоскость p, проходящая через точку Ao(xo, yo, zo), перпендикулярно вектору (A, B, C), задается в декартовой СК уравнением

 A(x – xo) + B(y – yo) + C(z – zo) = 0. (21 )

2. Плоскость p, проходящая через точку Ao(xo, yo, zo), параллельно двум неколлинеарным векторам и задается уравнением

 


 (22)

 

3. Плоскость p, проходящая через три точки Ao(xo, yo, zo), A1(x1, y1, z1), A2(x2, y2, z2), не лежащие на одной прямой задается уравнением

 


4. Плоскость p, отсекающая на координатных осях ненулевые отрезки a, b, c задается уравнением

  + + = 1 (24)

(предполагается, что a, b, c могут быть отрицательными).

Доказательство. 1. Пусть M(x, y, z) – произвольная точка плоскости. Тогда ^ Û · = 0. Поскольку (x – xo, y – yo, z – zo), то последнее равенство в координатах как раз имеет вид (22).

Обратно, если координаты точки M(x, y, z) удовлетворяют (21), то ^ Û MÎp.

2. Пусть M(x, y, z) – произвольная точка плоскости. Тогда компланарен векторам и , а это равносильно тому, что смешанное произведение этих трех векторов равно нулю: = 0. В координатах послед нее равенство как раз имеет вид (22).

Обратно, если координаты точки M(x, y, z) удовлетворяют (22), то векторы , , компланарны, а значит MÎp.

3. Если плоскость проходит через три точки Ao(xo, yo, zo), A1(x1, y1, z1), A2(x2, y2, z2), не лежащие на одной прямой, то векторы (x1– xo, y1– yo, z1– zo) и (x2 – xo, y2 – yo, z2 – zo) неколлинеарны друг другу и параллельны плоскости p. Подставим их координаты в (22) вместо координат векторов и , и получим (23).

4. Условие означает, что плоскость проходит через точки A(a, 0, 0), B(0, b, 0), C(0, 0, c). Подставим их координаты в уравнение (23):x – a y – 0 z – 0

 0 – a b – 0 0 – 0 = 0 .

 0 – a 0 – 0 c – 0

Самостоятельно раскройте определитель и приведите получившееся уравнение к виду (24).

Это  уравнение называется уравнением плоскости в отрезках.

Следствие. Любая плоскость определяется уравнением вида

 Ax + By + Cz + D = 0 , (25)

которое называется общим уравнением плоскости. И обратно, всякое уравнение вида (25) определяет плоскость.

Доказательство. Любая плоскость может быть задана с помощью точки и вектора нормали, а значит ее можно задать уравнением вида (21). Раскроем скобки и обозначим D = –Axo– Byo– Czo= const. Получим уравнение (25).

Обратно, пусть некоторое множество p определяется уравнением (25). Пусть Ao(xo, yo, zo) – произвольная точка этого множества. Тогда ее координаты удовлетворяют (25):

 Axo+ Byo+ Czo+ D = 0.

Отсюда D = –Axo– Byo– Czo , и подставляя это значение в (25) получим (21). А это уравнение, как уже известно, задает плоскость. Рассмотрим различные частные случаи плоскостей, задаваемых уравнениями вида (25).

1. D = 0. Тогда уравнению 

 Ax + By + Cz = 0

удовлетворяют координаты точки O(0, 0, 0).

Плоскость проходит через начало координат.

2. C = 0. Имеем уравнение

 Ax + By +D = 0.

Тогда вектор нормали к плоскости – (A, B, 0) и ^Oz, а значит, p½½ Oz.

Аналогично, при B= 0 получим p½½ Oy, а при A = 0 – p½½ Ox.

3. A = B = 0. Имеем уравнение

 Cz + D = 0,

которое равносильно z = – C /D. Тогда 

p^Oz.

Аналогично, при A = C = 0 будет 

p ^Oy, а при B = C = 0 – p ^Ox.

Ранг матрицы Рассмотрим прямоугольную матрицу mхn. Выделим в этой матрице какие-нибудь k строк и k столбцов, 1 £ k £ min (m, n) . Из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, составим определитель k-го порядка.

Пример. Найти ранг матрицы

Пример. Вычислить ранг матрицы

Пример. Решить систему уравнений по правилу Крамера:

Пример. Матричным методом решить систему уравнений

Метод Гаусса Пусть требуется решить систему АХ=В. Над строками расширенной матрицы произведем элементарные преобразования, приводящие ее к виду, когда ниже элементов а11, а22, …, а rr будут стоять нули. Этот вид матрицы будем называть трапециевидным.

Теорема Кронекера-Капелли Для того чтобы система m неоднородных линейных уравнений с n неизвестными была совместной, необходимо и достаточно, чтобы

Пример. Решить систему

Пример. Исследовать совместность системы

Пример. Исследовать совместность и найти общее решение системы

Однородные системы

Рассмотрим однородную систему линейных уравнений  Такая система всегда совместна, так как этой системе удовлетворяют значения х1=х2=…=хn=0. Это решение системы называют тривиальным.

Пример. Решить систему

Свойства смешанного произведения:

1.Смешанное произведение трех векторов равно 0, если

а) хоть один из векторов равен нулю,

б) два из перемножаемых векторов коллинеарны,

в) три ненулевых вектора параллельны одной и той же плоскости (компланарность),

 2. Смешанное произведение не изменится, если в нем поменять местами знаки векторного и скалярного умножения, т.е. =. В силу этого свойства смешанное произведение можно записывать в виде .

 3. Смешанное произведение не изменится, если преставлять премножаемые вектора в круговом порядке:

==.

При перестановке любых двух векторов смешанное произведение меняет знак:

=-, =-, =- .

 Объем треугольной пирамиды, построенной на векторах  находится по формуле .

Примеры решения задач

Пример 1: Дана система линейных уравнений: .

1.Найти ее решение при помощи формул Крамера;

2.Записать систему в матричной форме и решить ее методом обратной матрицы.

Решение:

1) Вычислим определитель матрицы коэффициентов системы, раскрыв его по первой строке:

.  Так как определитель не равен нулю, то решение можно найти по формулам Крамера. Для этого вычислим , раскрыв его по первой строке:

Согласно формулам (1.13) получаем:

; ; .

2) Найдем решение этой системы при помощи обратной матрицы:

Здесь , , .

Так как определитель матрицы А равен 23, то обратная матрица существует и ее элементы находятся по формулам (1.11) или (1.12).

Найдем алгебраические дополнения у этой матрицы:

; ; ;

; ; ;

; ; .

Обратная матрица имеет вид: .

Решение системы матричным методом в силу формулы (1.9) примет вид:

.

Таким образом, , , .

Пример 2: Методом Гаусса решить однородную систему уравнений и найти ее фундаментальную систему решений:

.

Примечание: Линейно независимая система решения однородной системы уравнений называется фундаментальной, если каждое решение этой системы является линейной комбинацией её решений.

Решение: Выпишем расширенную матрицу системы, при этом нулевой столбец можно не писать. После элементарных преобразований (аналогичные преобразования подробно описаны ранее). Получаем:

~~,

т.е. заданная система равносильна следующей:.

Ранг этой системы r равен 3, следовательно, 3 неизвестных можно выразить через остальные две, например, так:

где  и   – свободные переменные.

Фундаментальную систему можно получить, если свободным неизвестным придавать любые значения:  (тогда , , ) и значения  (тогда , , ). Это дает фундаментальную систему решений: . Общим решением будет: , где ,  - произвольные числа.

Пример 3: Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования А с матрицей .

Решение: Характеристическое уравнение (характеристический многочлен) преобразования А ищем по формулам (2.4):

.

По формуле (2.4): . Корни этого уравнения  и  являются собственными значениями линейного преобразования.

Собственные векторы находятся из двух систем уравнений

,  (i =1,2) каждая из которых, поскольку ее определитель равен нулю, сводится к одному уравнению:

При :  или , из которого находим  и в качестве собственного вектора, соответствующего , можно взять  (или любой вектор, кратный ).

При   имеем:  , из которого находим: , и соответствующий собственный вектор  (или любой вектор, кратный ему).

Ядерные испытания в Арктике Взрыв сверхмощной советской термоядерной бомбы Основные факторы риска Облучение людей Регистрация параметров ядерного взрыва