Вычисление производной примеры решения задач Применение производной к исследованию функций План исследования функции и построение графика Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Вычисление предела. Примеры решения задач

Пределы

 Пример 5. Найти

 Решение. Числитель и знаменатель дроби  при х ® 2 стремятся к нулю, то есть теорема о пределе частного неприменима, так как знаменатель дроби стремится к нулю. То, что получилось при подстановке х = 2 в числитель и знаменатель неопределённое выражение , указывает на тот факт, что числитель и знаменатель дроби одновременно при х  2 являются бесконечно малыми. И происходит это из-за того, что х  2 (или х – 2  0). Мы преобразуем дробь так, чтобы х – 2 из дроби исчезло. Очевидно, что = , а так как х лишь стремится к двум, но х ¹ 2, то дробь можно сократить на х – 2 под знаком предельного перехода.

  Имеем

 Пример 6. Найти .

 Решение. Здесь х – 7 ® 0, поэтому преобразуем выражение так, чтобы сократить его на х -7. Для этого умножим и разделим дробь на . Тогда  и мы имеем  

Пример: Найти асимптоты кривой .

Решение: Приравнивая знаменатель к нулю, получаем две вертикальные асимптоты: х = -1, х = 1.

Ищем наклонные асимптоты. При  получаем:

, следовательно, правой асимптотой является прямая у = х, аналогично при  имеем: , .

Таким образом, левая асимптота у = -х.

Схема исследования функции

область определения функции;

исследование на четность, нечетность и периодичность;

точки разрыва;

точки пересечения с осями координат;

точки экстремума, интервалы возрастания и убывания;

точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости;

асимптоты.

В ходе построения графика по мере необходимости можно получить дополнительно ряд значений функции при некоторых частных значениях аргумента х, т.е. еще ряд точек графика.


Вычислить произведение матриц