Emporio Armani мужские    часы

Фотокамеры Nikon

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

Дипломы, работы на заказ, недорого

 Cкачать    курсовую

Cкачать курсовую

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Вычисление производной примеры решения задач Применение производной к исследованию функций План исследования функции и построение графика Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Вычисление предела. Примеры решения задач

Односторонние пределы

 Теорема . Если в точке а существуют пределы функций f(х) и g (x) и при этом , то существует и предел частного , причем .

 Теорема 4. Если функция f (x) имеет предел в точке а, отличный от нуля, то функция  также имеет в этой точке предел, причем .

 Докажем для примера, что .

  Пусть , .

  Так как , то f(x) = A + a(x), где a(x) ® 0 при x ® a, а так как , то g(x) = В + b(x), где b(x) ® 0 при x ® a.

  Тогда f (x) ± g(x) = [A + a(x)] ± [В + b(x)] = (А ± В) + (a(x) ± b(x)), где a(x) ± b(x) ® 0 при x ® a как алгебраическая сумма бесконечно малых a(x) и b(x).

 Таким образом, функция f (x) ± g(x) отличается от числа А ± В на бесконечно малую и, следовательно, это число является пределом суммы функций f(x) и g(x), то есть имеем .

  Отметим, что при вычислении пределов сформулированные выше теоремы о пределах, как правило, не "работают", а попытка их применения приводит в итоге к неопределенности того или иного вида. Например,

  , , ,

  , .

  Рассмотрим на примерах основные приёмы раскрытия неопределенностей.

  Заметим, что необходимо выяснить, что именно эту неопределённость "вносит", и постараться избавиться от выражения, вносящего неопределённость.

Необходимое условие существование перегиба: если М(х0,у0) – точка перегиба графика функции у = f(x), то вторая производная  или не существует.

Если на (a,b) существует , то достаточным условием выпуклости (вогнутости) является выполнение неравенства   при a < x < b.

Пример: Найти точки перегиба следующих функций:

1. ;

2. .

Решение:

1. Найдем вторую производную: ; .

Решим уравнение ; .

Исследуем знак второй производной в окрестности точек , х2 = 1.

При  и при . (Знаки производных определяются аналогично примеру из п. 3.11. данного раздела).

При  и при . Следовательно, точки перегиба: М1(-1;0) и М2(1;0). Результаты исследования удобнее сразу заносить в таблицу:

х

-1

(-1;1)

1

>0

0

<0

0

>0

вогнутость

перегиб

выпуклость

перегиб

вогнутость

т.е. в интервале , где , кривая вогнута; в интервале (-1;1), где , кривая выпукла; в интервале , где , вогнута.

2. .

Производная  нигде не обращается в нуль. Приравнивая к нулю ее знаменатель, получаем, что в точке х = 0 вторая производная не существует. Исследуем знак второй производной в окрестности этой точки: , , где  - некоторое положительное число.

Точек перегиба нет. На интервале  вогнутость кривой направлена вверх.

Пусть функция у = f(x) определена при всех х > х0, (х < x0). Если существуют числа k и b такие, что функция  при  (), то прямую линию  называют асимптотой графика функции у = f(x) при  ().

При этом если , то асимптоту называют наклонной, если k = 0 (тогда y = b), то горизонтальной.

Условие f(x) – kx – b = 0 означает , и, следовательно, функция f(x) при  () неограниченно приближается к прямой y = kx + b (ведет себя почти как линейная функция).

Например, на рисунке изображен график функции, имеющий наклонную асимптоту у = х – 1 при  (правая наклонная асимптота) и горизонтальную асимптоту у = 1, при  (левая горизонтальная асимптота).

Если существуют пределы  и , то прямая  является правой наклонной асимптотой (при k1 = 0 – горизонтальной) графика функции y = f(x).

Если существуют пределы  и ,то прямая  является левой наклонной асимптотой (при k2 = 0 – горизонтальной) асимптотой графика функции y = f(x).

Пусть функция у = f(x) определена в некоторой окрестности точки x = x0. Если   или , то прямая х = х0 является вертикальной асимптотой графика функции у = f(x).


Вычислить произведение матриц