Вычисление производной примеры решения задач Применение производной к исследованию функций План исследования функции и построение графика Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Вычисление предела. Примеры решения задач

Односторонние пределы

 Теорема . Если в точке а существуют пределы функций f(х) и g (x) и при этом , то существует и предел частного , причем .

 Теорема 4. Если функция f (x) имеет предел в точке а, отличный от нуля, то функция  также имеет в этой точке предел, причем .

 Докажем для примера, что .

  Пусть , .

  Так как , то f(x) = A + a(x), где a(x) ® 0 при x ® a, а так как , то g(x) = В + b(x), где b(x) ® 0 при x ® a.

  Тогда f (x) ± g(x) = [A + a(x)] ± [В + b(x)] = (А ± В) + (a(x) ± b(x)), где a(x) ± b(x) ® 0 при x ® a как алгебраическая сумма бесконечно малых a(x) и b(x).

 Таким образом, функция f (x) ± g(x) отличается от числа А ± В на бесконечно малую и, следовательно, это число является пределом суммы функций f(x) и g(x), то есть имеем .

  Отметим, что при вычислении пределов сформулированные выше теоремы о пределах, как правило, не "работают", а попытка их применения приводит в итоге к неопределенности того или иного вида. Например,

  , , ,

  , .

  Рассмотрим на примерах основные приёмы раскрытия неопределенностей.

  Заметим, что необходимо выяснить, что именно эту неопределённость "вносит", и постараться избавиться от выражения, вносящего неопределённость.

Необходимое условие существование перегиба: если М(х0,у0) – точка перегиба графика функции у = f(x), то вторая производная  или не существует.

Если на (a,b) существует , то достаточным условием выпуклости (вогнутости) является выполнение неравенства   при a < x < b.

Пример: Найти точки перегиба следующих функций:

1. ;

2. .

Решение:

1. Найдем вторую производную: ; .

Решим уравнение ; .

Исследуем знак второй производной в окрестности точек , х2 = 1.

При  и при . (Знаки производных определяются аналогично примеру из п. 3.11. данного раздела).

При  и при . Следовательно, точки перегиба: М1(-1;0) и М2(1;0). Результаты исследования удобнее сразу заносить в таблицу:

х

-1

(-1;1)

1

>0

0

<0

0

>0

вогнутость

перегиб

выпуклость

перегиб

вогнутость

т.е. в интервале , где , кривая вогнута; в интервале (-1;1), где , кривая выпукла; в интервале , где , вогнута.

2. .

Производная  нигде не обращается в нуль. Приравнивая к нулю ее знаменатель, получаем, что в точке х = 0 вторая производная не существует. Исследуем знак второй производной в окрестности этой точки: , , где  - некоторое положительное число.

Точек перегиба нет. На интервале  вогнутость кривой направлена вверх.

Пусть функция у = f(x) определена при всех х > х0, (х < x0). Если существуют числа k и b такие, что функция  при  (), то прямую линию  называют асимптотой графика функции у = f(x) при  ().

При этом если , то асимптоту называют наклонной, если k = 0 (тогда y = b), то горизонтальной.

Условие f(x) – kx – b = 0 означает , и, следовательно, функция f(x) при  () неограниченно приближается к прямой y = kx + b (ведет себя почти как линейная функция).

Например, на рисунке изображен график функции, имеющий наклонную асимптоту у = х – 1 при  (правая наклонная асимптота) и горизонтальную асимптоту у = 1, при  (левая горизонтальная асимптота).

Если существуют пределы  и , то прямая  является правой наклонной асимптотой (при k1 = 0 – горизонтальной) графика функции y = f(x).

Если существуют пределы  и ,то прямая  является левой наклонной асимптотой (при k2 = 0 – горизонтальной) асимптотой графика функции y = f(x).

Пусть функция у = f(x) определена в некоторой окрестности точки x = x0. Если   или , то прямая х = х0 является вертикальной асимптотой графика функции у = f(x).


Вычислить произведение матриц