Вычисление производной примеры решения задач Применение производной к исследованию функций План исследования функции и построение графика Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Вычисление предела. Примеры решения задач

Односторонние пределы

 Замечание. Если , то в силу определения предела функции получаем: ïf(x)-Aï<e при xÎ O(а, б), что означает, что f(x)A является бесконечно малой при x® a. Тогда, полагая f(x)-A=a(x), имеем f(x) = A + a(x), где a(x) ® 0 при x ® a.

 Таким образом, имеем:

    = A <=> f(x) = A + a(x), где a(x) 0 при x ® a.

 Лемма. Если , то в некоторой окрестности О(а) точки знак функции f(x) (xÎX) совпадает со знаком числа А.

Теоремы о пределах

Теорема 1. Если в точке а существуют пределы функций f(x) и g(x), то в этой точке существует и предел суммы f(x)±g(x),причём .

Теорема 2. Если в точке а существуют пределы функций f (x) и g (x), то существует и предел произведения f(x)×g(х), причем .

 Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

 Действительно,

 Следствие 2.

 Достаточные признаки существования экстремума:

1. Если при переходе (слева направо) через критическую точку х0 производная   меняет знак с плюса на минус, то в точке х0 функция f(x) имеет максимум; если с минуса на плюс, то минимум; если знака не меняет, то экстремума нет.

Для определения экстремума функции удобно использовать следующую схему:

- определить критические точки, т.е. найти действительные корни уравнения , а затем найти и те точки из области определения функции, в которых производная не существует;

- исследовать на экстремум каждую критическую точку по первому достаточному признаку существования экстремума.

2. Пусть   и в окрестности точки х0 существует конечная первая производная, а в самой точке х0 – вторая производная , тогда:

- если , то в точке х0 имеется минимум;

- если , то имеем максимум;

- если , то этот признак ничего не дает и для решения вопроса надо применять первый достаточный признак.

Пример: Исследовать на максимум и минимум функцию .

Решение: Функция определена и непрерывна на всей числовой оси. Найдем производную, приравняем ее к нулю и определим действительные корни: =0.

Следовательно, х1 = 0, х2 = 2, х3 = -2 – критические точки. Теперь исследуем знак производной в окрестности каждой из этих точек:

 Так как левее точки х = -2 критических точек нет, то можно взять любое значение х и слева от точки –2, например, х = -3. Производная в этой точке имеет знак минус

, справа, при х = -1, – знак плюс , следовательно, в точке х = -2 будет минимум (min).

Слева от точки х = 0, как уже установлено, производная имеет знак плюс, справа можно брать любое значение х между 0 и 2, например, при х=1 знак производной будет минус, т.е. в точке 0 мы имеем максимум (max).

Слева от точки 2, как уже известно, знак производной минус, т.е. нужно взять любое значение х правее точки 3, т.к. справа больше нет других критических точек, например, х = 3. , следовательно, в точке х = 2 имеем минимум.

Найдем точки пересечения графика функции с осью Ох, пусть у = 0, тогда , . Решая это уравнение, получаем: ; ; ; . С осью Оу имеем одну точку пересечения у = 3 (при х = 0).

А так же найденными точками пересечения кривой с осью Ох и Оу, построим график функции:

Примечание: ординаты точек экстремума находятся при помощи подстановки их абсцисс в уравнение кривой, например:

  Дифференцируемая функция у = f(x) называется выпуклой (вогнутой) на интервале (a,b), если дуга кривой у = f(x) (a < x < b) расположена ниже (выше) касательной, проведенной в любой точке этой дуги.

Точки, в которых выпуклость изменяется на вогнутость или наоборот, называется точками перегиба.

Точки возможного экстремума функции f(x) называются критическими точками второго рода для f(x).


Вычислить произведение матриц