Вычисление производной примеры решения задач Применение производной к исследованию функций План исследования функции и построение графика Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Вычисление предела. Примеры решения задач

Односторонние пределы

 Пример. Функция f(x) = x2 является бесконечно малой при x®0, а  g (x) = бесконечно большой (при x ¹ 0).

 Рассмотрим основные теоремы о бесконечно малых.

 Теорема 1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых при x ® а функций есть функция бесконечно малая при x ® а.

 Доказательство. Для простоты ограничимся двумя функциями:

a(x) ® 0, b(x) ® 0 при x ® a.

  Пусть e > 0 – произвольное число. Тогда число тоже произвольное положительное число. Из условий: a(x) ®0, b(x) ®0 при x ® a следует, что для числа  существуют б-окрестности точки а O1 (а, б) и О2 (а, б) такие, что < для x Î O1 (а, б), а ïb(x)ï <   для x Î O2 (а, б). В О (а, б) = О1 (а, б) Ç О2 (а, б) будут одновременно выполнены оба последних неравенства.

 Таким образом, ïa(x) + b(х)ï £ ïa(x)ï + ïb(x)ï <   для x Î O (а, б), что и означает, что , то есть a(x) + b(x) – бесконечно малая при x ® a.

 Теорема 2. Произведение конечного числа бесконечно малых при x ® a функций есть бесконечно малая при x ® a функция.

 Теорема 3. Произведение бесконечно малой при x®a функции на функцию, ограниченную при x ® a, есть бесконечно малая при x ® a.

 Следствие. Целая положительная степень [a(x)]n бесконечно малой при x ® a функции a(x) есть бесконечно малая при x ® a.

  Две бесконечно малые при х а функции a(х) и b(х) называются бесконечно малыми одинакового порядка, если k, где k ¹0 и конечно.

  Например, функции у = х+1 и у = хз+1 при х -1 являются бесконечно малыми одинакового порядка, так как .

 Две бесконечно малые при х а функции a(х) и b(х) называются эквивалентными при х а, если , то есть a (x) » b(x) при x ® a.

 Бесконечно малая при х а функция a(х) называется функцией более высокого порядка по сравнению с функцией b(х) при х а, если .

  В этом случае пишут a(х) = о (b(х)).

 Так, функция y = х3 является бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с y=х при х 0, так как .

Пример: Найти промежутки возрастания и убывания следующих функций:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Решение:

1. Функция определена в интервале . Найдем производную .

Производная  (обращается в нуль только в одной точке х = 0), следовательно, функция возрастает в интервале  (см. рисунок).

2. Функция определена в интервале . Находим производную . Знаменатель дроби  при любых значениях х (т.к. корни трехчлена комплексные), следовательно, знак производной совпадает со знаком числителя: , если , т.е.

 , если , т.е. .

 Функция убывает в интервале   и возрастает в интервале . В точке х = -1 убывание сменяется возрастанием.

3. Данная функция определена при . Найдем производную: .

Функция возрастает, если , т.е.  , или , т.е. , или .

Функция убывает, если , т.е. , или , т.е. .

Итак, в интервале  функция убывает, в интервале  возрастает. В точке  убывание сменяется возрастанием.

4. Точка х = 2 есть точка разрыва второго рода:  при .

Следовательно, функция убывает в интервалах  и .

Функция у = f(x) имеет в точке х0 максимум (минимум) f(x0), если в некоторой окрестности этой точки (при ) выполняется неравенство f(x) < f(x0) (f(x) > f(x0)).

Максимум или минимум функции называется экстремумом функции. Точка, в которой функция имеет минимум или максимум, называется точкой экстремума функции.

Необходимое условие существования экстремума: Если функция f(x) в точке х0 имеет экстремум, то производная в этой точке равна нулю, либо не существует.

Точки возможного экстремума функции f(x) называются критическими точками первого рода для f(x).


Вычислить произведение матриц