Вычисление производной примеры решения задач Применение производной к исследованию функций План исследования функции и построение графика Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Вычисление предела. Примеры решения задач

Односторонние пределы

Любой интервал (a, а), правым концом которого является точка а, называется левой окрестностью точки а.

  Аналогично любой интервал (a, b), левым концом которого является точка а, называется ее правой окрестностью.

  Символически запись означает, что х стремится к а справа, оставаясь большим а, то есть при х > а;  означает, что х стремится к а слева, то естьпри х < а.

будем называть левосторонним пределом функции при слева, -это правосторонний предел функции.

 Теорема. Функция у = f(х) имеет   в том и только в том случае, когда существуют и равны друг другу ее   и . Tогда  =   =  

 

Бесконечно малые и бесконечно большие

Функция (х) называется бесконечно малой при х®а, если   Ясно, что тогда ïa(x)ï Ð e для x Î O (а, б) и " e > 0.

 Функция f(х) называется бесконечно большой при если . Это равносильно тому, что каким бы ни было число М > 0, найдется такая окрестность О (а, б), что для всех x Î O (а, б) > M.

 Лемма. Если f(х) ¥ при х а, то 0 при х®а. Если a (x) ® 0 при x® a, то ® ¥ при x ® a и a (x) ¹ 0.

 Действительно, пусть f(x) ® ¥, то есть является бесконечно большой. Тогда ïf(x)ï > М для x Î O (а, б).  для x Î O (а, б), то есть  для x Î O (а, б), это означает, что , так как можно взять в качестве e > 0.

Аналогично доказывается вторая часть утверждения.

Пример: найти производные указанного порядка от данных функций:

1. = ?

2. = ?

Решение:

найдем первую производную: , теперь найдем вторую производную: .

Продифференцируем еще два раза и получим производную четвертого порядка: .

2. Аналогично предыдущему примеру ищем сначала производную первого порядка, а затем более высоких:

При   найдем .

Пример: Показать, что функция у = cos2х удовлетворяет дифференциальному уравнению .

Решение: определяем  и : .

Подставив и  в данное уравнение, получим тождество: , т.е. 0 = 0.

Если функция у = f(x) дифференцируема в интервале (a,b) и имеет положительную (отрицательную) производную , то функция f(x) возрастает (убывает) в этом интервале.

Замечание: производная в отдельных точках интервала может равняться нулю.


Вычислить произведение матриц