Вычисление производной примеры решения задач Применение производной к исследованию функций План исследования функции и построение графика Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Вычисление предела. Примеры решения задач

Пределы и непрерывность функции

Пример . Функция у = sin х ограничена на всей числовой оси, так как . Функция  не ограничена на множестве, содержащем точку х = 0.

Лемма. Если функция f(х) имеет предел А при х а, то она ограничена в некоторой окрестности точки х = а.

Доказательство. Выберем e = 1, что возможно, так как e – любое положительное число. Имеем < 1 при x Î 0 (а, б), что следует из определения предела функции. Рассмотрим . Очевидно: ïf(x)ï = ïf(x) – A + Aï £ ï f(x) – Aï + ïAï. Но для x Î O (а, б) имеем ïf(x) – A ï < 1 и тогда ïf(x)ï < 1 +ïAï для x Î O(а, б), где М = 1 +ïAï.

Замечание. Обратное утверждение неверно: ограниченная функция может не иметь предела.

Например, функция f(x) = sin ограничена при 0< ïxï < + ¥, но не имеет предела при x ® 0.

 Теорема. Пусть существует   и пусть М < f(x) < N в некоторой окрестности точки x = a. Тогда М £ А £ N.

 Положительная функция не может иметь отрицательного предела.

Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.

Пусть функции f(x) и  дифференцируемы в окрестности точки а, причем производная .

Если обе функции бесконечно малые или бесконечно большие при , т.е. если частное  в точке а представляет неопределенность вида  или , то , при условии, что предел отношения производных существует (конечный или бесконечный).

Правило применимо и для случая, когда . Раскрытие неопределенностей вида , , , ,  при помощи алгебраических преобразований и логарифмирования сводится к раскрытию неопределенностей вида  и .

Примеры:

1. .

Здесь мы имеем неопределенность вида  и правило Лопиталя применяли дважды.

2.

Здесь мы имеем неопределенность вида  и правило Лопиталя применяли трижды.

3. .

4. .

Полагаем у = хх и логарифмируем обе части этого равенства: . Найдем . Из примера 3 видно: . Отсюда .

5. .

Положим  и прологарифмируем обе части полученного равенства: .

Найдем предел : .

Полученную неопределенность вида преобразуем к неопределенности вида , а затем применим правило Лопиталя: .

Отсюда получаем .

6. .

Положим . При помощи логарифмирования получаем: .

, отсюда , т.е. , т.е. .

Производную  от у = f(x) будем называть производной первого порядка; производную от первой производной называют производной второго порядка от функции у = f(x) и обозначают  или ; производную от производной второго порядка называют производной третьего порядка и обозначают  или  и т.д.

Производная от производной (n – 1)-го порядка называется производной n-го порядка от функции у = f(x) и обозначается  или .


Вычислить произведение матриц