Вычисление производной примеры решения задач Применение производной к исследованию функций План исследования функции и построение графика Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Вычисление предела. Примеры решения задач

Пределы и непрерывность функции

Пример. Доказать, что  (2х +1) = 7.

Решение. Возьмем произвольное число e > 0. Покажем, что можно найти такую  – окрестность точки х = 3, что для всех точек х Î 0 (3,d) будет выполняться соотношение |(2х+1)-7| < e.

  Преобразуем неравенство |(2х+1)-7| < e так, чтобы из него получить < d. Имеем

< e <=> |2х – 6| < e <=> 2|х – 3| < e <=> |х – 3| < . Ясно, что, взяв d мы получим требуемое соотношение:

ïх – 3ï < d=>ï(2х + 1) – 7ï <e.

  Сформулируем некоторые свойства пределов.

Теорема. Если функция f(х) = с постоянна в некоторой окрестности точки а, то

Теорема. Если f(х) имеет предел при х а, то этот предел единствен.

  Функция f(х) называется ограниченной на данном множестве Х, если существует такое положительное число М, что |f(х)| £ М при всех х ÎХ.

  Если такое число М не существует, то функция f(х) называется неограниченной.

Пример: Найти , если .

Решение: ;

  , отсюда

 .

Чтобы найти производную от неявной функции, надо данное уравнение продифференцировать, считая у функцией от х, и вновь полученное уравнение решить относительно производной .

Пример:

 1.

Дифференцируем обе части по х, считая у функцией от х: , отсюда .

2.

Дифференцируем обе части по х, считая у функцией от х:, отсюда

Если для функции у = f(x) производная , то производная обратной функции  (см. § 1) есть 

Пример: Найти , если у = х + lnх.

Имеем , следовательно, .

Если зависимость функции у и аргумента х задана посредством параметра t   , то производная от функции, заданной параметрически, имеет вид .

Пример:

  .


Вычислить произведение матриц