Вычисление производной примеры решения задач Применение производной к исследованию функций План исследования функции и построение графика Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Вычисление предела. Примеры решения задач

Пределы и непрерывность функции

  Окрестностью О (а) точки а называется любой интервал a < x < b, окружающий эту точку, из которого, как правило, удалена сама точка а.

  Под окрестностью О(¥) символа бесконечность понимается внешность любого отрезка [a,b], то есть О (¥) = (-¥,a) È (b,+ ¥).

 б-окрестностью точки а называется интервал (аб, а+б), не содержащий точку а, то есть О (а, б) = (а- б, а) È (а, а + б).

  Пусть функция f(x) определена на множестве X, кроме быть может точки а. Точку а мы будем называть предельной точкой множества X, если в любой б -окрестности точки а содержится бесконечно много точек xÎX, то есть О (а) ÇX ¹ Æ для " О(а).

  Число А называется пределом функции f(x) в точке а (или при x®а), если для любого e > 0 cуществует число б (e) > 0 такое, что для любого x Î X, удовлетворяющего условию 0 < ïx – аï < б,следует неравенство ïf (x) – Aï< e.

  Учитывая, что все x, удовлетворяющие условию 0 < ïx- аï< б, находятся в б-окрестности точки а, можно несколько иначе сформулировать определение предела.

  Говорят, что число А является пределом функции f(x) при x®а, если для "e > 0 существует б-окрестность точки а О (а,б) = íx/ 0< ïx-aï<бý,где б =б (e), такая, что для " x Î O (а, б) выполняется неравенство ïf(x) – Aï < e.

  При этом пишут:

Утверждение   эквивалентно следующему:

ïf(x) – Aï < e при ïx ï > ∆, где ∆ = ∆(e) зависит от e и по смыслу определения является достаточно большим положительным числом.

 Множество всех точек x, для которых ïxï > ∆, очевидно является симметричной окрестностью символа ¥.

3. Написать уравнение касательной к графику функции   в точке с абсциссой х0 = -1.

Ищем ординату точки касания: .

Угловой коэффициент касательной: 

.

Подставив х0, у0 и k в уравнение касательной, получаем:

(у – 3) = 0(х + 1), откуда

у = 3

4. Какой угол образует с осью Ох касательная к кривой у = х – х2 в точке с абсциссой х = 0?

Найдем угловой коэффициент касательной: , следовательно .

Пример: найти производные следующих функций:

  1. ;

 2. ;

  3. .

Решение: 1. Функция имеет вид у = u2, где , значит  или

2.Функция имеет вид , где u = x3 – 1, следовательно, ;

3. Функция имеет вид: у = u2, где , т.е.

Пример: Вычислить производную функции  в точке .

Решение: Преобразуем функцию в правой части. Получим. . Вычислим производную: . Полагая , найдем: .

Логарифмической производной функции у = f(х) называется производная от логарифма этой функции, т.е.

Нахождение производных от функций, которые допускают операцию логарифмирования (произведение, частное, возведение в степень и извлечение корня), значительно упрощается, если функции предварительно прологарифмировать.


Вычислить произведение матриц