Emporio Armani мужские    часы

Фотокамеры Nikon

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

Дипломы, работы на заказ, недорого

 Cкачать    курсовую

Cкачать курсовую

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Вычисление производной примеры решения задач Применение производной к исследованию функций План исследования функции и построение графика Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Вычисление предела. Примеры решения задач

 Теорема Больцано-Коши об обращении функции в нуль. Пусть функция определена и непрерывна на отрезке [a, b] и на концах этого отрезка принимает значения различных знаков, то есть  Тогда существует точка  такая, что

  Проиллюстрируем теорему:

Из рисунка видно, что функция имеет три нуля, то есть три точки, в которых она обращается в нуль.

 Вторая теорема Больцано-Коши о промежуточном значении функции. Пусть функция  определена и непрерывна на отрезке [a, b] и на концах этого отрезка принимает неравные значения . Тогда, каково бы ни было число  между числами , найдется точка  в интервале  такая, что .

Теорема 1 Вейерштрасса. Если функция определена и непрерывна на отрезке [a,b], то она на этом отрезке ограничена, то есть существуют числа m и М такие, что m М для любого .

 Теорема 2 Вейерштрасса. Если функция  определена и непрерывна на отрезке [a,b], то она достигает на этом отрезке своих наименьшего и наибольшего значений (то есть существуют такие   на отрезке [a,b], что для любого

Примеры: 1.  .

2. . Применили подстановку (1).

 3.  . Применили подстановку (2).

4. . Воспользуемся универсальной подстановкой , откуда .

.

2. Определенные интегралы

Формула Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла имеет вид: , если  и первообразная непрерывна на отрезке .

Пример: .

Определенный интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной прямыми x=a, x=b, y=0 и частью графика функции y=f(x), взятой со знаком «+», если f(x)³0, и со знаком «-», если f(x)£0.

Свойства определённого интеграла:

Формула интегрирования по частям для определенного интеграла имеет вид: .

Формула замены переменной в определенном интеграле имеет вид: , где - функция, непрерывная вместе со своей производной  на отрезке .

Пример:

1..

Решение: применим подстановку . Определим новый интервал интегрирования. Если , если . Следовательно, .

Определенный интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной прямыми x=a, x=b, y=0 и частью графика функции y=f(x), взятой со знаком «+», если f(x)³0, и со знаком «-», если f(x)£0.

  Примеры: 1.Найти площадь, ограниченную параболой  и окружностью .

Решение: преобразуем уравнение окружности , откуда следует, что центр окружности лежит в точке  и ее радиус R=2. Решив систему уравнений , получим следующие точки пересечения данных кривых: O(0,0), A(2,2), B(2,-2). Из рисунка видно, что искомая площадь ,

2. Найти площадь фигуры, ограниченной линией: .

Решение: Функция  четная относительно переменной y, следовательно, фигура, ограниченная этой линией расположена симметрично относительно оси Ох (см. рисунок). Найдем промежуток интегрирования. Пусть y=0, тогда x1=0, x2=1.

 


 1 x

 .

Знак «-» означает, что фигура, площадь которой найдена, расположена ниже оси Ох. Это можно было и предвидеть, т.к. . Таким образом, искомая площадь .

Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной прямыми  и  , непрерывной кривой  и отрезком оси Ох, определяется по формуле:

Объем тела, образованного вращением вокруг оси Оy криволинейной трапеции, ограниченной прямыми непрерывной кривой и отрезком оси Оy, определяется по формуле: 

Пример. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной параболами  и .

Решение. Решив систему уравнений , получим , откуда точки пересечения кривых О(0,0) и В(1,1). 

Как видно из


Вычислить произведение матриц