Вычисление производной примеры решения задач Применение производной к исследованию функций План исследования функции и построение графика Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Вычисление предела. Примеры решения задач

 Теорема Больцано-Коши об обращении функции в нуль. Пусть функция определена и непрерывна на отрезке [a, b] и на концах этого отрезка принимает значения различных знаков, то есть  Тогда существует точка  такая, что

  Проиллюстрируем теорему:

Из рисунка видно, что функция имеет три нуля, то есть три точки, в которых она обращается в нуль.

 Вторая теорема Больцано-Коши о промежуточном значении функции. Пусть функция  определена и непрерывна на отрезке [a, b] и на концах этого отрезка принимает неравные значения . Тогда, каково бы ни было число  между числами , найдется точка  в интервале  такая, что .

Теорема 1 Вейерштрасса. Если функция определена и непрерывна на отрезке [a,b], то она на этом отрезке ограничена, то есть существуют числа m и М такие, что m М для любого .

 Теорема 2 Вейерштрасса. Если функция  определена и непрерывна на отрезке [a,b], то она достигает на этом отрезке своих наименьшего и наибольшего значений (то есть существуют такие   на отрезке [a,b], что для любого

Примеры: 1.  .

2. . Применили подстановку (1).

 3.  . Применили подстановку (2).

4. . Воспользуемся универсальной подстановкой , откуда .

.

2. Определенные интегралы

Формула Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла имеет вид: , если  и первообразная непрерывна на отрезке .

Пример: .

Определенный интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной прямыми x=a, x=b, y=0 и частью графика функции y=f(x), взятой со знаком «+», если f(x)³0, и со знаком «-», если f(x)£0.

Свойства определённого интеграла:

Формула интегрирования по частям для определенного интеграла имеет вид: .

Формула замены переменной в определенном интеграле имеет вид: , где - функция, непрерывная вместе со своей производной  на отрезке .

Пример:

1..

Решение: применим подстановку . Определим новый интервал интегрирования. Если , если . Следовательно, .

Определенный интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной прямыми x=a, x=b, y=0 и частью графика функции y=f(x), взятой со знаком «+», если f(x)³0, и со знаком «-», если f(x)£0.

  Примеры: 1.Найти площадь, ограниченную параболой  и окружностью .

Решение: преобразуем уравнение окружности , откуда следует, что центр окружности лежит в точке  и ее радиус R=2. Решив систему уравнений , получим следующие точки пересечения данных кривых: O(0,0), A(2,2), B(2,-2). Из рисунка видно, что искомая площадь ,

2. Найти площадь фигуры, ограниченной линией: .

Решение: Функция  четная относительно переменной y, следовательно, фигура, ограниченная этой линией расположена симметрично относительно оси Ох (см. рисунок). Найдем промежуток интегрирования. Пусть y=0, тогда x1=0, x2=1.

 


 1 x

 .

Знак «-» означает, что фигура, площадь которой найдена, расположена ниже оси Ох. Это можно было и предвидеть, т.к. . Таким образом, искомая площадь .

Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной прямыми  и  , непрерывной кривой  и отрезком оси Ох, определяется по формуле:

Объем тела, образованного вращением вокруг оси Оy криволинейной трапеции, ограниченной прямыми непрерывной кривой и отрезком оси Оy, определяется по формуле: 

Пример. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной параболами  и .

Решение. Решив систему уравнений , получим , откуда точки пересечения кривых О(0,0) и В(1,1). 

Как видно из


Вычислить произведение матриц