Вычисление производной примеры решения задач Применение производной к исследованию функций План исследования функции и построение графика Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Вычисление предела. Примеры решения задач

 Пример 14. Функция  в точке х = 1 не определена, но , то есть = . Доопределим функцию в точке, положив ее значение в этой точке, равным трем.

Тогда функция

становится непрерывной в точке 1.

Точка разрыва функции, не являющаяся точкой разрыва первого рода или точкой устранимого разрыва, является точкой разрыва второго рода.

 Пример 15. Функция  в точке 1 имеет разрыв второго рода, так как  и .

 Пример 16. Исследовать на непрерывность функцию .

 Решение. Функция не определена в точке 0. Тогда . И функция в точке х=0 имеет разрыв второго рода.

 Замечание. В последних двух примерах мы ввели символическую запись  которая означает, что знаменатель такой дроби стремится к нулю, вся дробь стремится к бесконечности, но вовсе не означает, что мы производим деление на 0, что невозможно.

  И в заключение рассмотрим свойства функций, непрерывных на отрезке.

Интегрирование иррациональных функций.

 Интегралы вида , где - рациональная функция; - целые числа, находятся с помощью подстановки:

(а), где - наименьшее общее кратное чисел .

Рассмотрим два частных случая:

1) если в интеграле с=0, то он будет иметь вид:  , где . Интегра находится с помощью подстановки  (б);

2) если , то интеграл примет вид . Интеграл находится с помощью подстановки  (в).

Примеры: 1. . Применим подстановку (в): , откуда  

2.

Применим подстановку (б). Наименьшее общее кратное показателей корней подынтегрального выражения , поэтому , откуда и.

3. . Применим подстановку (а):

, откуда

Интегрирование тригонометрических функций.

1. Интегралы вида , где , находятся с помощью формул

2. Некоторые интегралы от выражений, содержащих тригонометрические функции, с помощью преобразований приводятся к интегралам вида , которые находятся соответственно с помощью подстановок:

 (1)

  (2)

 (3)

  (4)

3. Интегралы вида , где m и n – положительные четные числа, вычисляются с помощью формул: .

4. Интегралы вида , где R- рациональная функция, можно найти с помощью универсальной подстановки , (5)

откуда,   .


Вычислить произведение матриц