Вычисление производной примеры решения задач Применение производной к исследованию функций План исследования функции и построение графика Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Вычисление предела. Примеры решения задач

 Все элементарные функции непрерывны в области определения. Так что  всюду непрерывна, так как всюду определена, а, например, функция  разрывна в точке .

  Дадим теперь классификацию точек разрыва функций. Возможны следующие случаи.

  1.Если  и  существуют и конечны, но не равны друг другу, то точку  называют точкой разрыва первого рода. При этом величину  называют скачком функции в точке .

 Пример 13. Исследовать на непрерывность функцию .

 Решение. Эта функция может претерпевать разрыв только в точке 0, где происходит переход от одного аналитического выражения к другому, а в остальных точках области определения функция непрерывна.

  Найдем левосторонний предел функции при . Слева от точки 0, то есть при   , а .

  Справа от точки 0 . Тогда = . Значение функции в точке 0 равно нулю, то есть . Функция в точке 0 имеет разрыв первого рода. Это видно на графике функции.

  2.Если в точке   , но в точке  функция  либо не определена, либо , то точка  является точкой устранимого разрыва. Последнее объясняется тем, что если в этом случае доопределить или видоизменить функцию , положив , то получится непрерывная в точке  функция.

Примеры: 1. . Данный интеграл можно вычислить при помощи выделения полного квадрата из квадратного трехчлена.

Найдем интеграл при помощи разложения правильной дроби на простейшие. Знаменатель дроби имеет корни: . Следовательно, . Напишем разложение: .

Дроби приводим к общему знаменателю и, освободившись от него, находим: .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях тождества, получаем систему из двух уравнений с двумя неизвестными

 

откуда: .

Подставляем найденные коэффициенты и получаем разложение: .

Следовательно, .

2. .

Разложим знаменатель дроби на множители:

.

Корни трехчлена  есть –1 и 2, поэтому окончательно получаем: .

Напишем разложение: .

Корень   имеет кратность, равную двум, поэтому ему в разложении и соответствуют два слагаемых. Теперь приведем это разложение к общему знаменателю, и, освободившись от него, получим: .

Из этого тождества определяем коэффициенты А, В, С. Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях  слева и справа, получаем систему из трех уравнений с тремя неизвестными: , откуда  .

Окончательно получаем: . Следовательно,


Вычислить произведение матриц