Вычисление производной примеры решения задач Применение производной к исследованию функций План исследования функции и построение графика Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Вычисление предела. Примеры решения задач

Непрерывность функции

Функция f(x), определенная на множестве Х, называется непрерывной в точке , если

  Из определения непрерывности функции следует, что функция в точке  определена, ее значение в этой точке равно  и кроме того, так как , мы имеем: , то есть под знаком непрерывной функции можно переходить к пределу.

 Замечание. Существование равносильно тому, что существуют равные друг другу левосторонний и правосторонний пределы функции при , равные к тому же и значению функции в точке ,то есть . (1)

  Если функция не является непрерывной в точке , то говорят, что она в этой точке разрывна. Ясно, что при невыполнении хотя бы одного из равенств (1), функция будет разрывной.

Примеры:

1)     функция  разрывна в точке х=2, так как она в этой точке не определена, или не имеет значения;

2)     функция

также не является непрерывной в точке х = 2, так как , а значение функции в точке 2 равно 2, то есть ;

3) функция

в точке х = 2 непрерывна, так как .

 Функция  называется непрерывной справа в точке , если  и слева, если .

Примеры: 1. . Полагая , имеем , , тогда  .

2. . Подынтегральная дробь неправильная. Выделим целую часть путем деления числителя на знаменатель: . . Найдем интеграл .

  ,  . Следовательно, .

3..

, где , . Последний интеграл вычислим способом интегрирования по частям, полагая , , откуда . Следовательно,  , откуда  или . Учитывая, что , получаем .


Вычислить произведение матриц