Вычисление производной примеры решения задач Применение производной к исследованию функций План исследования функции и построение графика Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Вычисление предела. Примеры решения задач

Первый и второй замечательные пределы

Теорема. Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге, выраженной в радианах, равен единице, то есть

  .

  Этот предел называют первым замечательным пределом. С его помощью вычисляют пределы выражений, содержащих тригонометрические функции.

 Пример 8. Вычислить

 Решение. Преобразуем данное выражение:

 Пример 9. Найти

 Решение. Для того чтобы воспользоваться первым замечательным пределом, перейдем к новой переменной  которая при  стремится к нулю. Тогда имеем

  При вычислении пределов вида , где    используется второй замечательный предел:  или  или ,

Метод подстановки (замена переменной).

Пусть функция f(x) непрерывная. Полагая x=j(t), dx = j¢(t)dt, где производная j¢(t) есть функция непрерывная, получаем: 

 

Цель замены переменной достигнута, если интеграл в правой части этого равенства проще исходного.

Для получения искомого результата в найденном интеграле с новой переменной t переходим обратно к переменной x.

Полезно запомнить частный случай:  . 

Примеры:

. Применим подстановку , откуда . Дифференцируя, получаем , следовательно:

  . Полагаем . Тогда , т.е.

. Полагаем . Тогда .

.

. Полагаем , имеем  

.

. Применим замену , т.е.

.

. Здесь числитель дроби равен дифференциалу знаменателя. Имеем: .


Вычислить произведение матриц