Вычисление производной примеры решения задач Применение производной к исследованию функций План исследования функции и построение графика Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Вычисление предела. Примеры решения задач

Некоторые признаки существования предела функции

Не всякая функция имеет предел, даже будучи ограниченной. Например, sin x при x ® ¥ предела не имеет, хотя £ 1.

 Укажем два признака существования предела функции.

 Теорема (о промежуточной функции).

  Пусть в некоторой окрестности О (а) точки а функция f(x) заключена между двумя функциями j (x) и y (x), имеющими одинаковый предел А при x ® a, то есть j (x) £ f(x) £ y (x) и

  Тогда функция f(x) имеет тот же предел:

  Функция f (x) называется возрастающей на данном множестве X, если f(x1)<f(x2) для x1< x2 (x1, x2 Î X).

 Функция f(x) называется убывающей на множестве X, если f( ) > f(x2) для x1< x2 (x1, x2 Î X).

 Возрастающая или убывающая функция называется монотонной на данном множестве X.

  Если f( ) £ f( ) для x1< x2, то f(x) называют неубывающей, а если f(x1) ³ f(x2) для x1< x2 – не возрастающей. И в этом случае функцию называют монотонной.

 Теорема. Пусть функция f(x) монотонна и ограничена при x< a (или при x > a). Тогда существует соответственно  (или ).

Непосредственное интегрирование.

Пользуясь таблицей интегралов и свойствами неопределенного интеграла, можно вычислить многие интегралы. При проверке результата интегрирования надо помнить, что если , то , .

Примеры:

1.

Проверим это: .

2.  ==

3.

=.

Фактически мы здесь разделили числитель на знаменатель, т.е. из неправильной дроби выделили целую часть.

Примечание: любую неправильную рациональную дробь можно (посредством деления числителя на знаменатель «уголком») представить в виде суммы алгебраического многочлена и правильной рациональной дроби, например:

, так как

 x4-x3+1 çx2 + x + 2

-x4+x3+2x2 x2-2x

 -2x3-2x2+1

--2x3+2x2-4x

1+4x – остаток

4.


Вычислить произведение матриц