Вычисление производной примеры решения задач

 Emporio Armani мужские    часы

Фотокамеры Nikon

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Дифференцируемость функции
комплексной переменной
Правила интегрирования
Множества математическая логика
Предел и непрерывность функции
Вычислить производную функции
Неопределенный интеграл
Расчет электрических цепей
постоянного и переменного тока
Цепи постоянного тока
Теория переменных токов
Электрические машины
законы Кирхгофа
Резонанс напряжений
резонанс токов
Трехфазная цепь
Соединение в треугольник
Определение гармоник
преобразования Фурье
Расчет переходного процесса
в цепи RL
Моделирование электрических
цепей
Моделирование цепей переменного
тока
Резонансные цепи
Моделирование переходных
процессов
Моделирование схем с
электрическими машинами
Экологические проблемы
эксплуатации АЭС
Cвойства атомных ядер
Волновая и квантовая оптика
Полигон Новая Земля
Семипалатинский полигон
Радиационная обстановка
Институт стратегической
стабильности
Советский атомный проект
Термоядерная бомба
Сверхмощные американские
испытания
Первый в истории взрыв
Появлению сверхмощных зарядов
Эпоха холодной войны
Радиационная обстановка
Испытания в атмосфере
Следы наземного взрыва
санитарно-защитная зона
Контроль за облучением населения
Организация системы контроля
Глобальные радиоактивные осадки
гамма-излучение
самолет-лаборатория
радиационной разведки
Радиевый институт им. В.Г. Хлопина
справочные материалы
ядерный щит
государственная экспертиза
Вспоминают ветераны
Моратории на ядерные испытания
Ядерно-взрывные технологии
излучения в малых дозах
Основные факторы риска
Институт клеточной биологии
Факторы нерадиационной природы
химические факторы
допороговые дозы
гамма-спектрометрический анализ
взрывозащитная камера
хранилища радиоактивных отходов
Проектные работы
академик РАН А.Д. Сахаров
подводные ядерные взрывы
Регистрация параметров
ядерного взрыва
световое излучение
Авиационная регистрация
Аппаратура для регистрации
Атомное и термоядерное оружия
Развитие ядерной индустрии
Ядерная программа Россия
Мирная атомня энергетика
Атомная бомбардировка
Ядерная программа США
Индийская ядерная программа
Испытания ядерного оружия

Вычисление производной Формулы вычисления производной некоторых элементарных функций получены в курсе средней школы

Производная Основные понятия Пусть дана функция y = f(x). Рассмотрим два значения ее аргумента: исходное х0 и новое х. Разности = х-х0 и D y = f(x)-f(x0) = y-y0 называются соответственно приращением аргумента и приращением функции в точке х0. Теорема ( о связи дифференцируемости и непрерывности). Если функция у = f(x) дифференцируема в точке х0, то она непрерывна в этой точке.

Производная обратной функции Теорема. Пусть функция х = f(y) монотонна и дифференцируема в некотором интервале (a, b) и имеет в точке у этого интервала производную f'(y), не равную нулю.

Примеры. Найти производную функции.

Производная степенной функции с любым действительным показателем Известно, что (xn)' = nxn-1 для натурального n. Пусть теперь n любое дейст­вительное число и х>0. Справедливо тождество xn = enlnx. Тогда у = enlnx – сложная функция и ее производная вычисляется следующим образом: y' = (enlnx)' = enlnx(nlnx)' = enlnx =  xn = nxn-1.

Производные высших порядков Предположим, что функция y = f (x ) дифференцируема в некотором интер­вале (а, в ). Тогда ее производная f' (x ) в этом интервале является функцией х. Пусть эта функция также имеет производную в (а, в ). Эта производная называется второй производной или производной второго порядка функции y = f (x) и обозначается y'' или f'' (x ).

Дифференцирование функций, заданных неявно Если функция y = f(x), определенная на некотором интервале (а,в), такая, что уравнение (1) при подстановке в него вместо у выражения f(x) обращается в тождество, то говорят, что уравнение (1) задает функцию y = f(x) неявно или что функция y = f(x) есть неявная функция.

Пример

Логарифмическое дифференцирование Функция вида y = [u(x)]v(x) называется степенно – показательной. Для вычисления ее производной (при условии, что у' существует), нужно прологарифмировать функцию по любому основанию (обычно по основанию е). Затем нужно вычислить производную полученной неявной функции.

Дифференциал функции Рассмотрим функцию у = х 3. Дадим некоторому значению аргумента х ¹ 0 приращение Dх ¹ 0, тогда функция получит соответствующее приращение Dу. Вычислим его.

Теорема о связи между существованием производной и существованием дифференциала. Для того, чтобы функция y = f(x) имела в точке х дифференциал, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке производную.

Свойства дифференциала Это свойство дифференциала сложной функции называется инвариантностью формы дифференциала.

Дифференциалы высших порядков Дифференциал от дифференциала данной функции y = f(x) называется ее вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка и обозначается символом d2у или d2 f(x). Таким образом, по определению d2у = d().

Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях Теорема Ферма Пусть функция y = f (x ) определена в интервале (а, в ) и принимает в точке с этого интервала наибольшее или наименьшее на (а, в ) значение. Если существует f' (с ), то f' (с ) = 0.

Теорема Лагранжа Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема в интервале (a, b). Тогда существует хотя бы одна точка сÎ(a, b), для которой выполняется условие: .

Теорема Коши

Теорема Лопиталя (Правило Лопиталя) Пусть - функции, непрерывные на [а, b], дифференцируемые в(а, b);  при всех хb) и f(а) = (а) = 0. Примеры на применение правила Лопиталя.

Применение производной к исследованию функций.

Интервалы монотонности Экстремумы Функция у = f(х) называется возрастающей (убывающей) на некотором промежутке, если для любых значений x2>x1 этого промежутка выполняется условие f(x2) > f(x1)(f(x2) < f(x1)) . Теорема ( достаточное условие монотонности функции). Если непрерывная на отрезке [а, b] функция у = f(х) в каждой точке интервала (а, b) имеет положи­тельную (отрицательную) производную, то эта функция возрастает (убывает) на отрезке [а, b].

Выпуклость и вогнутость графика функции Точки перегиба График дифференцируемой функции у = f (x ) называется выпуклым (вогнутым) в интервале (а, b ), если он расположен ниже (выше) любой своей касательной на этом интервале.

Теорема ( достаточный признак существования точки перегиба). Если вторая производная непрерывной функции меняет знак при переходе аргумента через точку х0, то точка (х0; f(х0)) является точкой перегиба графика функции. Асимптотой графика функции у = f(x) называется прямая, расстояние от которой до текущей точки графика функции стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки от начала координат.

План исследования функции и построение графика

Пример . Исследовать функцию y= x-2arctgx и построить ее график.

Пример . Исследовать функцию и построить ее график.

ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ

Уравнение кривой и поверхности.

Определение. Пусть g – некоторая кривая на плоскости, а j(x, y) – функция двух переменных. Говорим, что уравнение

 j(x, y) = 0 (1)

есть  уравнение кривой g в неявном виде, если координаты любой точки MÎ g  удовлетворяют (1), и обратно, каждая

пара (x, y) чисел, удовлетворяющих  (1), задает точку M(x, y) на кривой.

Подчеркнем, что при составлении уравнений следствие обязательно надо проверять в обе стороны.

 

Пример 1. Уравнение

 x2– 4 = 0 (*)

задает на плоскости пару прямых (см.чертеж). Координаты любой точки A(x, y)Î l1 удовлетворяют (*), но нельзя

сказать, что (*) есть уравнение l1 , поскольку есть еще точки, координаты которых удовлетворяют (*), но на l1 эти точки не лежат.

С другой стороны, каждая точка, координаты которой удовлетворяют уравнению

x – 2 = 0, (**)

лежит на фигуре l1U l2 , но нельзя сказать что (**) задает эту фигуру, поскольку есть еще точки на  l1U l2, координаты которых (**) не удовлетворяют.

Пример 2. Составим уравнение окружности g радиуса R с центром в точке O¢(a, b). Пусть M(x, y) – произвольная точка окружности g . Тогда 

 R =½O¢M½= Û 

 Û  (x – a)2 + (y – b)2 = R 2. (2)

Обратно, если координаты точки M(x, y) удовлетворяют (2), то ½O¢M½= R, а значит, MÎg. Таким образом (2) и есть уравнение нашей окружности.

Если из уравнения (1) удается выразить одну координату через другую, то получим уравнение в явном виде:

 y = f (x), (3)

Не всегда удается привести неявное уравнение кривой к явному виду. В каком случае это возможно гласит теорема о неявной функции, изучаемая в курсе математического анализа. Например, с уравнением окружности это сделать нельзя.

Предположим, что точка движется по кривой. Тогда ее координаты изменяются со временем:

x = j( t ),

 y = y( t ).

При этом параметр t изменяется в определенных пределах: tÎI, где I – интервал числовой прямой. Говорим, что (4) есть параметрические уравнения кривой g, если точка M(x, y) лежит на кривой g тогда и только тогда, когда найдется такое tÎI, что будут выполнены оба равенства  (4) одновременно. При этом, обязательно к системе (4) надо добавлять интервал изменения параметра. Физический смысл параметра в (4) не всегда время.

Пример 2. Параметрические уравнения окружности радиуса R с центром в начале координат имеют вид:

x = R·cos a ,

 y = R·cos a , aÎR .

Не важно, что для одной и той же точки

может найтись несколько (или даже

бесконечно много) соответствующих ей

значений параметра. Это не запрещается.

Пример 3. Уравнения

x = t2 ,

 y = t3 , tÎR .

задают полукубическую параболу. Уравнения

Подпись: (***) x = e2 t,

 y = e3 t, tÎR .

тоже задают полукубическую параболу, но не всю, а только ее верхнюю половину. Для точки M, лежащей ниже оси, Ox не найдется такого t, для которого выполнено (***).

пределение. Пусть F – некоторая поверхность в пространстве, а F(x, y, z) – функция от трех переменных. Говорим, что

 F(x, y, z) = 0 (6)

есть уравнение поверхности F  в неявном виде, если координаты любой точки MÎF удовлетворяют (6), и обратно, каждая пара  (x, y) чисел, удовлетворяющих (6), задает точку M(x, y, z) на поверхности.

Так же, как и для кривой, при составлении уравнения поверхности, необходимо проверять следствие в обе стороны.

Упражнение. Самостоятельно докажите, что сфера радиуса R с центром в точке O¢(a, b, с) задается уравнением

 (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R 2. (7)

Если из уравнения (6) удается выразить одну переменную через две другие, то получим уравнение поверхности в явном виде: z = f (x, y). Вопрос, когда это возможно сделать, изучается в курсе математического анализа. Уравнение сферы невозможно переписать в явном виде.

Кривая в пространстве одним уравнением, как правило, не задается. Бывают исключительные случаи, типа уравнения  x2 + y2 = 0, которое задает прямую – ось Oz. Кривая в пространстве обычно задается системой из двух уравнений

F1(x, y, z) = 0,

 F2(x, y, z) = 0.

Каждое из уравнений в отдельности задает поверхность. Если координаты

точки удовлетворяют системе, то она лежит на двух поверхностях одновременно, т.е. MÎF1IF2. Таким образом, система (8) задает линию пересечения двух поверхностей (хотя заметим, что не всегда это пересечение будет кривой). Аналогично, если мы хотим найти точки пересечения любых двух множеств, заданных своими уравнениями, мы должны объединить данные уравнения в одну систему.

Пример 4. Система уравнений

x2 + y2 + z2 = R 2. 

 z = 0.

задает окружность в плоскости Oxy. Первое уравнение системы задает сферу с центром в начале координат, а второе – плоскость Oxy. Их пересечение есть окружность g.  Если подставить z = 0 в первое уравнение, то получим

 x2 + y2 = R 2. (****  )

Казалось бы, можно сказать, что это и есть уравнение окружности g. Но это не так. Уравнение (**** )

задает цилиндрическую поверхность (см. параграф «цилиндрические и конические поверхности»). Подставляя z = 0 в первое уравнение системы, нельзя отбрасывать при этом само уравнение z = 0.

Также кривая в пространстве может быть задана параметрическими уравнениями вида

x = j( t ),

 y = y( t ),

 z = s( t ), t ÎI ,

где I – интервал числовой прямой. С параметрическими уравнениями поверхности мы встретимся в разделе «Дифференциальная геометрия».

Обозначим – радиус-вектор произвольной точки M(x, y, z) на кривой, т.е. вектор с координатами, составленными из неизвестных (x, y, z), а – вектор с координатами (j( t ), y( t ), s( t )). Тогда параметрические уравнения кривой можно переписать в виде одного векторного уравнения

 = , t Î

 

Уравнение прямой на плоскости.

Прямую l на плоскости можно задать

а) с помощью точки AoÎ l и ненулевого вектора  ½½ l ; тогда можем написать, что

 l ={M½ ½½  }; (*)

б) с помощью точки AoÎ l и ненулевого вектора ^ l ; тогда можем написать, что

 l ={M½ ^ }; (**

в) с помощью двух точек  Ao, A1Î l .

Вектор ½½  l называется направляющим вектором прямой, а вектор ^ l называется вектором нормали к прямой.

Теорема 1. 1. Прямая l, проходящая через точку Ao(xo, yo), и имеющая направляющий вектор (a1, a2), задается уравнением

  = , (9 )

которое называется каноническим уравнением прямой, или параметрическими уравнениями:

x = xo + a1t ,

 y= yo + a2t , tÎR , 

которые можно записать в векторном виде так:

= + t, tÎR , (10¢ )

где = – радиус-вектор точки Ao.

2. Прямая, проходящая через две точки Ao(xo, yo) и A1(x1, y1), задается уравнением

 = , (11 )

3. Прямая, проходящая через точку  Ao(xo, yo), и имеющая вектор нормали (A, B), задается в декартовой СК уравнением

A(x – xo) + B(y – yo) = 0. (12 )

4. Прямая, отсекающая на координатных осях отрезки длины a ¹ 0, b ¹ 0, задается уравнением

 + = 1 , (13 )

(уравнение прямой в отрезках).

Предполагается, что в пунктах 1, 2 и 4

СК является произвольной аффинной, а числа a и b в пo4 могут быть отрицатель-

ными. В уравнениях (10) и (10¢) в дальнейшем писать tÎR  не будем: это будет подразумевается.

Доказательство. 1. Пусть M(x, y) – произвольная точка прямой l. Тогда (x – xo, y – yo)½½  (a1, a2), а по второму признаку коллинеарности векторов (теор.1¢ §7, гл.1) это равносильно (9).

Обратно, если для координат точки M(x, y) выполнено (9), то по тому же признаку ½½ , а значит, MÎ l .

 По первому признаку коллинеарности векторов ½½ Û $ tÎR, такое что = t . В координатах последнее равенство имеет вид

 x – xo = t a1, y – yo = t a2, 

Для того, чтобы получить уравнение (10) осталось перенести xo и yo в другую часть равенства.

2. Если прямая проходит через две точки Ao(xo, yo) и A1(x1, y1) , то вектор (x1– xo, y1– yo) можно взять в качестве направляющего вектора прямой. Подставляя его координаты в (9) вместо a1, a2, получим (11).

3. Пусть M(x, y) – произвольная точка прямой l. Тогда

(x – xo, y – yo) ^ (A, B) Û · = 0, а в координатах это условие как раз имеет вид (12). Обратно, если координаты точки M(x, y) удовлетворяют (12), то ^ , а значит, MÎ l .

4. Условие означает, что прямая проходит через точки A(a, 0) и B(0, b). Подставляя их координаты в (10), получим

= Û = Û (13) .При ответе на экзамене недостаточно написать уравнение прямой: требуется обязательно указать, что означает каждый из параметров, входящих в уравнение. Например, выписав каноническое или параметрическое уравнение прямой, следует указать, что (xo, yo) – это координаты точки, через которую проходит прямая, а (a1, a2) – координаты направляющего вектора. Без данных пояснений ответ в виде выписанного уравнения расценивается, как отсутствие ответа.

Следствие. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением вида

 Ax + By + C = 0 , (14)

которое называется общим уравнением прямой. И обратно, любое уравнение вида (14) на плоскости задает прямую.

Доказательство. Любую прямую на плоскости можно задать с помощью точки и вектора нормали. Тогда ее уравнение в декартовой СК будет иметь вид (12). Раскроем скобки:

 Ax + By – Axo– Byo = 0

и обозначим C = – Axo– Byo= const . Получим уравнение (14).

Обратно, пусть некоторое множество l определяется уравнением (14), и Ao(xo, yo) – произвольная точка этого множества. Тогда ее координаты удовлетворяют (14): Axo + Byo + C = 0 Þ C = – Axo– Byo. Подставляя это значение в (14) получим (12), а это уравнение, как уже известно, определяет прямую.

Попутно мы выяснили геометрический смысл коэффициентов A и B в общем уравнении прямой: это координаты вектора нормали к прямой: (A, B). И этот факт чрезвычайно важен при исследовании положения прямой и при решении различных задач про прямую на плоскости. Но этот факт верен только в случае декартовой СК.

Если СК на плоскости не является декартовой, то это следствие можно доказать с помощью уравнения (9). В дальнейшем, СК предполагается декартовой, если не оговорено противное.

Рассмотрим различные частные случаи общего уравнения прямой.

1. C = 0 Û l : Ax + By = 0. Тогда урав-нению удовлетворяют координаты точки O(0, 0), т.е. прямая проходит через начало координат.2. A = 0 Û By + C = 0 Û y = – C /B. Прямая l||Ox .

3. B = 0 Û  Ax + C = 0 Û x = – C /A. Прямая l||Oy .

 

4. B ¹ 0 . Тогда (14) можно переписать так: y = – x – . Обозначим k = – A/B, q = – C /B, и получим уравнение 

 y = k x + q, (15)

которое называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. Угловым называется коэффициент k. Выясним почему.

Пусть  P(x1, y1), Q(x2, y2) – две произвольные точки на прямой l, где y2 ³ y1. Подставим их координаты в уравнение прямой: y1 = k x1 + q, y2 = k x2 + q . Вычтем из второго равенства первое: 

 y2 – y1= k (x2 – x1).

Поскольку мы исключили случай l½½Oy, то x2 ¹ x1 Þ

 k = . (*** )

Выберем на прямой l направление, соответствующее возрастанию ординаты y, и назовем его положительным. Пусть a – угол между положительным направлением оси Ox и положительным направлением прямой l. Назовем его углом наклона прямой. Пусть S – точка с координатами  (x2, y1).

 


 

1 случай: x2 > x1. Тогда y2 – y1 = QS, x2 – x1 = PS и из DPQS находим, что k = QS/PS = tg a.

2 случай: x2< x1. Тогда y2 – y1= QS, x2 – x1= – PS Þ k = – QS/PS = = – tg b , где b = ÐQPS. Но b = pa Þ  – tg b = tg a . Значит, как и в первом случае k = QS/PS = tg a.

Итак, мы доказали, что k есть тангенс угла наклона прямой. Поэтому он называется угловым коэффициентом. А геометрический смысл коэффициента q очевиден: это отрезок, отсекаемый прямой на оси Oy.

Ядерные испытания в Арктике Взрыв сверхмощной советской термоядерной бомбы Основные факторы риска Облучение людей Регистрация параметров ядерного взрыва