Неопределенный интеграл


Учебник по математике примеры решения лекции

Метод замены переменной (интегрирование подстановкой)

ТЕОРЕМА. Пусть 1) функция  непрерывна на промежутке ; 2) функция  непрерывно дифференцируема на промежутке , имеет множество значений, принадлежащих промежутку , и   на . Тогда

,  (**)

где  – какая-либо первообразная для функции  на ;

   – обратная функция для функции .

В самом деле, условие  гарантирует существование
обратной функции   и ее производной . Дифференцируя по  на  сложную функцию ,  и учитывая
равенство , получим

.

 Пусть  и  два произвольных непустых множества. Декартовым произведением   этих множеств называется множество всевозможных упорядоченных пар вида , где . При этом две пары  и , где , считаются равными, если . Если , тогда множество  называется декартовым квадратом множества .

Итак, функция  – первообразная для  на .

Теорема показывает, что если при вычислении интеграла  удается подобрать функцию ,  с указанными свойствами и интеграл  вычисляется, то исходный
интеграл определяется формулой (**), при этом счет проводится по алгоритму:

выбрать функцию  с непрерывной и знакопостоянной
производной так, чтобы эта функция отображала промежуток  в промежуток определения функции ; найти обратную
функцию ;

найти , ;

заменить интеграл  интегралом ;

вычислить ;

вернуться к первоначальной переменной интегрирования ,
заменяя . Получить ответ в виде .

Ниже рассмотрены некоторые часто встречающиеся интегралы и применяемые для их вычисления подстановки.

1. Тригонометрические подстановки , ,  применяются в тех случаях, когда подынтегральное
выражение содержит радикалы , ,  или их степени.

ПРИМЕР 1. Вычислить .

РЕШЕНИЕ. Положим , . Тогда , , , . Имеем

, отсюда получаем

.

ПРИМЕР 2. Вычислить .

РЕШЕНИЕ. Положим , . Тогда , , ,  и

.

Возвращаясь к первоначальной переменной  (пункт 5 алгоритма), выразим сначала  через :

.

Отсюда .

Введем понятие предела функции. Число A называется пределом функции y = f(x) в точке x0 (иногда говорят, при x, стремящемся к x0), если для любого положительного числа e можно найти такое положительное число d, что для всех x из d-окрестности точки x0 соответствующие значения y попадают в e-окрестность точки y = A.
Множества математическая логика