Emporio Armani мужские    часы

Фотокамеры Nikon

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

Дипломы, работы на заказ, недорого

 Cкачать    курсовую

Cкачать курсовую

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Неопределенный интеграл


Учебник по математике примеры решения лекции

Метод замены переменной (интегрирование подстановкой)

ТЕОРЕМА. Пусть 1) функция  непрерывна на промежутке ; 2) функция  непрерывно дифференцируема на промежутке , имеет множество значений, принадлежащих промежутку , и   на . Тогда

,  (**)

где  – какая-либо первообразная для функции  на ;

   – обратная функция для функции .

В самом деле, условие  гарантирует существование
обратной функции   и ее производной . Дифференцируя по  на  сложную функцию ,  и учитывая
равенство , получим

.

 Пусть  и  два произвольных непустых множества. Декартовым произведением   этих множеств называется множество всевозможных упорядоченных пар вида , где . При этом две пары  и , где , считаются равными, если . Если , тогда множество  называется декартовым квадратом множества .

Итак, функция  – первообразная для  на .

Теорема показывает, что если при вычислении интеграла  удается подобрать функцию ,  с указанными свойствами и интеграл  вычисляется, то исходный
интеграл определяется формулой (**), при этом счет проводится по алгоритму:

выбрать функцию  с непрерывной и знакопостоянной
производной так, чтобы эта функция отображала промежуток  в промежуток определения функции ; найти обратную
функцию ;

найти , ;

заменить интеграл  интегралом ;

вычислить ;

вернуться к первоначальной переменной интегрирования ,
заменяя . Получить ответ в виде .

Ниже рассмотрены некоторые часто встречающиеся интегралы и применяемые для их вычисления подстановки.

1. Тригонометрические подстановки , ,  применяются в тех случаях, когда подынтегральное
выражение содержит радикалы , ,  или их степени.

ПРИМЕР 1. Вычислить .

РЕШЕНИЕ. Положим , . Тогда , , , . Имеем

, отсюда получаем

.

ПРИМЕР 2. Вычислить .

РЕШЕНИЕ. Положим , . Тогда , , ,  и

.

Возвращаясь к первоначальной переменной  (пункт 5 алгоритма), выразим сначала  через :

.

Отсюда .

Введем понятие предела функции. Число A называется пределом функции y = f(x) в точке x0 (иногда говорят, при x, стремящемся к x0), если для любого положительного числа e можно найти такое положительное число d, что для всех x из d-окрестности точки x0 соответствующие значения y попадают в e-окрестность точки y = A.
Множества математическая логика