Неопределенный интеграл


Учебник по математике примеры решения лекции

Интегрирование по частям

ПРИМЕР 3. Вычислить , .

РЕШЕНИЕ. Производные функций  и  "проще" самих функций, но при выборе  появляются затруднения с нахождением  (нет в таблице интеграла ). Поэтому полагаем , . Тогда ,  и

.

3. Среди табличных интегралов отсутствуют интегралы таких функций, как   и т.д. Они вычисляются с помощью интегрирования по частям.

ПРИМЕР 4. Вычислить .

РЕШЕНИЕ.

.

4. Интегрирование по частям иногда эффективно для вычисления интегралов от тригонометрических функций, в частности, для , в случае, когда один из показателей – нечетное
отрицательное целое число.

ПРИМЕР. Вычислить .

РЕШЕНИЕ. Множитель  выбираем так, чтобы в интеграле  степень функции в знаменателе уменьшилась. Полагая , имеем

 

.

5. Иногда формула (*) позволяет искомый интеграл выразить через некоторые функции и этот же интеграл. Полученное равенство является уравнением относительно искомого интеграла. Решив это уравнение, вычислим интеграл. Интегралы такого типа называют возвратными.

ПРИМЕР 1. Вычислить .

РЕШЕНИЕ.

.

Получили уравнение для значения . Используя табличный
интеграл 10, окончательно имеем .

Введем понятие предела функции. Число A называется пределом функции y = f(x) в точке x0 (иногда говорят, при x, стремящемся к x0), если для любого положительного числа e можно найти такое положительное число d, что для всех x из d-окрестности точки x0 соответствующие значения y попадают в e-окрестность точки y = A.
Множества математическая логика