Предел и непрерывность функции


Учебник по математике примеры решения лекции

Неопределенный интеграл

Интегрирование тригонометрических функций вида

1. Одно из чисел  или  является положительным нечетным числом. Пусть, например,  – произвольное, , где . Тогда для интеграла  отделим множитель  в подынтегральном выражении и подведем под дифференциал . Оставшуюся четную степень  выразим через , используя формулу .
В результате получаем

,

где  – произвольное, а   – целое неотрицательное число.
Интеграл   оказывается суммой интегралов, каждый из которых вычисляется по формуле 1 таблицы.

ПРИМЕР 1. Вычислить .

РЕШЕНИЕ. Здесь ,  – нечетное, положительное число.

Отделим   и подведем под дифференциал, а  представим в виде . Тогда имеем

.

Аналогично вычисляются интегралы вида , где ,  – любое число.

ПРИМЕР 2. Вычислить .

РЕШЕНИЕ. Здесь  – нечетное, положительное число, .

Отделяя множитель  и подведя его под знак дифференциала , получим

.

2. Пусть  и   – четные числа.

Если ,  и , , т.е.  и  – неотрицательные четные числа, то рекомендуется последовательно понижать показатели степеней функций  и  до тех пор, пока они не станут нечетными или нулевыми, используем формулы , , .

Так как между множеством действительных чисел и множеством точек числовой оси можно установить взаимно-однозначное соответствие, в дальнейшем изложении понятиям “число х” и “точка х числовой оси” в некоторых случаях будет придаваться один и тот же смысл. Например, вместо “значение функции при значении аргумента, равном х1” будет говориться “значение функции в точке х1”. В нижеследующем опре­делении можно везде заменить выражение “точка х” на выражение “число х”.
Вычислить производную функции