Предел и непрерывность функции одной переменной
Теорема
о локальной ограниченности функции, имеющей при 
конечный предел
: 
,
т.е. если функция при имеет конечный предел, то существует окрестность точки
, на которой множество значений
функции 
есть ограниченное числовое
множество.
Доказательство. Поскольку 
к.ч., то для любого 
, в том числе для 
, существует 
так, что для 
, т.е. 
, где 
или 
.
Заметим, что обратное утверждение неверно, т.е.
если функция 
локально ограничена
на 
, то необязательно существует 
и равен конечному значению.
Контрпример.
Функция 
имеет множество значений 
– ограниченное множество в любой окрестности
точки 
, но 
не существует.
Заметим,
что функция, имеющая в точке конечный предел, а значит, локально ограниченная
в окрестности этой точки, может быть неограниченной на своей области существования.
Например, 
, 
для 
.
Функция
бесконечно большая при является
неограниченной в любой окрестности . Обратное неверно, т.е. неограниченная в функция не обязательно бесконечно большая при . Например, 
.
Частный случай (для последовательности):
всякая сходящаяся последовательность является ограниченной, т.е.
Контрпример. 
– ограниченная последователь-ность, но не является сходящейся, поскольку ее подпосле-довательности
и 
сходятся к несовпадающим пределам.
Итак, теорема о локальной ограниченности является "односторонней" теоремой и выражает НЕОБХОДИМОЕ условие существования конечного предела функции (и последовательности).
Следующая серия утверждений описывает связь между соотношениями для функций и их пределов.