В теоретическом анализе и в практике финансовой деятельности часто встречается понятие “непрерывно начисляемый процент”. Чтобы перейти к непрерывно начисляемому проценту, нужно в формулах (2) и (3) неограниченно увеличивать соответственно, числа k и n (то есть устремить k и n к бесконечности) и вычислить, к какому пределу будут стремиться функции ST и S1.Предел и непрерывность функции одной переменной
Теорема о локальной ограниченности функции, имеющей при
конечный предел
:
,
т.е. если функция при
имеет конечный предел, то существует окрестность точки
, на которой множество значений функции
есть ограниченное числовое множество.
Доказательство. Поскольку
к.ч., то для любого
, в том числе для
, существует
так, что для
![]()
, т.е.
, где
![]()
или
.
Заметим, что обратное утверждение неверно, т.е. если функция
локально ограничена на
, то необязательно существует
и равен конечному значению.
Контрпример. Функция
имеет множество значений
– ограниченное множество в любой окрестности точки
, но
не существует.
Заметим, что функция, имеющая в точке конечный предел, а значит, локально ограниченная в окрестности этой точки, может быть неограниченной на своей области существования. Например,
,
для
.
Функция
бесконечно большая при
является неограниченной в любой окрестности
. Обратное неверно, т.е. неограниченная в
функция
не обязательно бесконечно большая при
. Например,
![]()
.
Частный случай (для последовательности):
всякая сходящаяся последовательность является ограниченной, т.е.
Контрпример.– ограниченная последователь-ность, но не является сходящейся, поскольку ее подпосле-довательности
и
сходятся к несовпадающим пределам.
Итак, теорема о локальной ограниченности является "односторонней" теоремой и выражает НЕОБХОДИМОЕ условие существования конечного предела функции (и последовательности).
Следующая серия утверждений описывает связь между соотношениями для функций и их пределов.