Предел и непрерывность функции одной переменной
ПРИМЕР . Показать 
.
РЕШЕНИЕ: 1) берем 
;
2) ищем 
так, чтобы 
;
считаем 
;
оцениваем 
– верно при любом 
;
выбираем 
из условия 
.
Вывод: 
,
т.е. по определению конечного предела последовательности имеем .
ПРИМЕР 7. Показать по определению 
.
РЕШЕНИЕ: 1) берем 
;
2) ищем 
так, чтобы для всякого 
выполнялось
неравенство 
;
3) оценим
неравенство 
, поскольку для 
.
Требуем 
.
Итак,
, т.е. .
ПРИМЕР
8. Указать значение 
для функций, заданных графически.
Ответ. а) 2; б) 2; в) не существует; г) не существует.
Замечание. Если для доказательства
существования предела
функции при 
применяли определение предела по Коши, то показать, что не существует предел,
чаще удобнее по определению Гейне.