Предел и непрерывность функции


Учебник по математике примеры решения лекции

Предел и непрерывность функции одной переменной

ПРИМЕР . Показать .

РЕШЕНИЕ: 1) берем ;

2) ищем   так, чтобы  ;

считаем ; оцениваем  – верно при любом ; выбираем  из условия .

Вывод: , т.е. по определению конечного предела последовательности имеем .

ПРИМЕР 7. Показать по определению .

РЕШЕНИЕ: 1) берем ;

2) ищем   так, чтобы для всякого  выполнялось неравенство ;

3) оценим неравенство , поскольку для  .

Требуем .

Итак, , т.е. .

ПРИМЕР 8. Указать значение  для функций, заданных графически.

 


Ответ. а) 2; б) 2;  в) не существует; г) не существует.

Замечание. Если для доказательства существования предела
функции при   применяли определение предела по Коши, то показать, что не существует предел, чаще удобнее по определению Гейне.

В теоретическом анализе и в практике финансовой деятельности часто встречается понятие “непрерывно начисляемый процент”. Чтобы перейти к непрерывно начисляемому проценту, нужно в формулах (2) и (3) неограниченно увеличивать соответственно, числа k и n (то есть устремить k и n к бесконечности) и вычислить, к какому пределу будут стремиться функции ST и S1.
Вычислить производную функции