Предел и непрерывность функции


Учебник по математике примеры решения лекции

Предел и непрерывность функции одной переменной

ПРИМЕР. Показать по определению .

РЕШЕНИЕ: 1) берем ;

2) ищем   так, чтобы для всякого  выполнялось
неравенство ;

3) можно решать неравенство непосредственно  или  и взять , ;

можно решать неравенство  с предварительной
оценкой

;

потребуем  и выберем .

Итак, , т.е. .

Заметим, что оба решения правильные и для вывода можно
использовать любое из найденных значений .

ПРИМЕР 4. Показать по определению .

РЕШЕНИЕ: 1) берем ;

2) ищем   так, чтобы ;

3) неравенство ; выберем . Тогда

  и такое, что .

ПРИМЕР 5. Показать по определению .

РЕШЕНИЕ: 1) берем ;

2) ищем   так, чтобы ;

3) прежде чем решать неравенство , оценим выражение ; здесь полагаем  –
малым, например, , т.е. , и тогда  и , т.е. .

Потребуем , т.е. .

Итак,

, т.е. .

В теоретическом анализе и в практике финансовой деятельности часто встречается понятие “непрерывно начисляемый процент”. Чтобы перейти к непрерывно начисляемому проценту, нужно в формулах (2) и (3) неограниченно увеличивать соответственно, числа k и n (то есть устремить k и n к бесконечности) и вычислить, к какому пределу будут стремиться функции ST и S1.
Вычислить производную функции