Предел и непрерывность функции


Учебник по математике примеры решения лекции

Предел и непрерывность функции одной переменной

ПРИМЕР 1. Показать по определению .

РЕШЕНИЕ: 1) рассматриваем произвольное;

2) ищем   так, чтобы ,
т.е. ;

3)  вычисляем, при каких значениях  верно требуемое неравенство

,

т.е. при  из неравенства   следует справедливость неравенства .

Итак,   

, по определению .

Не всегда выбор  с нужными свойствами столь очевиден. Иногда удобнее применить соответствующие (проверенные!) предварительно оценки функций, входящих в решаемые неравенства.

ПРИМЕР 2. Показать по определению .

РЕШЕНИЕ: 1) берем ;

2) ищем   так, чтобы ;

3) вычисляем, предварительно оценивая

по свойствам абсолютной величины

,

причем значение  считаем близким к  так, что  ().

Потребуем теперь  и решим это неравенство относительно , получим .

Итак, при  нашли  так, что 

, , т.е.

действительно  – бесконечно большая при .

В теоретическом анализе и в практике финансовой деятельности часто встречается понятие “непрерывно начисляемый процент”. Чтобы перейти к непрерывно начисляемому проценту, нужно в формулах (2) и (3) неограниченно увеличивать соответственно, числа k и n (то есть устремить k и n к бесконечности) и вычислить, к какому пределу будут стремиться функции ST и S1.
Вычислить производную функции