Неопределенный интеграл

Ранее рассматривалось понятие производной функции, ее геометрический смысл, свойства, правила нахождения. Во многих технических задачах требуется решение обратной задачи: отыскание функции по заданной ее производной функции. Например, задача об определении закона прямолинейного движения  материальной точки по заданной ее скорости . Решение сформулированной задачи основано на понятии первообразной функции.

Свойства неопределенного интеграла базируются на свойствах дифференциала функции

Вычислить интеграл .

Сведение исходного интеграла к табличному тесно связано с операцией подведения функции под знак дифференциала: . Функция  – какая-то первообразная для  и ее подбирают, используя формулы дифференцирования и правила дифференцирования.

Вычислить . РЕШЕНИЕ. Снова выбор табличного интеграла, к которому попытаемся свести интеграл , проведем по структуре подынтегрального выражения. Оно представляет собой дробь, знаменатель которой содержит квадратный корень разности положительного числа  и квадрата функции – .

Интегрирование тригонометрических функций вида

Вычислить .

Эффективность метода интегрирования по частям определяется умением правильно определить, для каких интегралов применима формула (*) и как наиболее рационально расчленить подынтегральное выражение  на произведение , т.е. как выбрать функции  и , чтобы идея интегрирования по частям была осуществлена. Приведем некоторые рекомендации такого выбора. Вычислить , .

Вычислить , применяя интегрирование по частям,  – число, .

Метод замены переменной (интегрирование подстановкой) Иногда по структуре подынтегрального выражения удается догадаться не о самой подстановке , а о виде функции  – обратной для  – с тем, чтобы свести исходный интеграл к одному из табличных интегралов.

Дробно-рациональная функция (рациональная дробь) определяется формулой ,

Способы отыскания введенных здесь и пока неизвестных коэффициентов, объединенные названием "Метод неопределенных коэффициентов", покажем на конкретных примерах. ПРИМЕР 1. Разложить на простейшие дроби рациональную дробь . Вычислить .

Интегрирование с помощью рационализации подынтегральных выражений Вычислить .

Интеграл от функции , где , ,  и  – постоянные,   – целое положительное число, рационализируется подстановкой .

Ядерные испытания в Арктике Взрыв сверхмощной советской термоядерной бомбы Основные факторы риска Облучение людей Регистрация параметров ядерного взрыва