Туннельный диод http://school70.ru/diode/

Частные производные Дифференциальные уравнения Основные методы интегрирования


Производная, матрица, ряды примеры решений

Дифференциальные уравнения

Пример. Найти общее решение уравнения y ¢ = 3x.

Решение. Интегрируя, находим

y = ò 3x dx, y = 3x2/2 + C,

где С - произвольная постоянная. Придавая С конкретные числовые значения, будем получать частные решения, например,

 y = 3x2/2 (С= 0),

 y = 3x2/2 + 5 (С = 5)

и т.д.

Пример. Рассмотрим процесс возрастания денежной суммы, положенной в банк при условии начисления 100 r сложных процентов в год. Пусть Yo обозначает начальную денежную сумму, а Yx - денежную сумму по истечении x лет. Если бы проценты начислялись один раз в год, мы бы имели Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии математика решение задач

Yx+1 = (1+r)Yx,

где x = 0, 1, 2, 3,.... Если бы проценты начислялись два раза в год (по истечении каждого полугодия), то мы имели бы

Yx+1/2 = (1 + r/2)Yx,

где x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... Вообще, если проценты начисляются n раз в год и x принимает последовательно значения 0, 1/n, 2/n, 3/n,..., тогда

Yx+1/n = (1 + r/n)Yx,

то есть

.

Если обозначить 1/n = h, то предыдущее равенство перепишется так: Комплексные числа. Определение. Комплексным числом z называется выражение , где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, которая определяется соотношением:

.

Неограниченно увеличивая n (при n ® ¥, h ®0) мы в пределе приходим к процессу возрастания денежной суммы при непрерывном начислении процентов:

,

то есть при непрерывном изменении x закон возрастания выражен дифференциальным уравнением 1- го порядка. Отметим для четкости, что Yx - неизвестная функция, x - независимая переменная, r - постоянная. Для решения данного уравнения перепишем его следующим образом:

откуда Yx = e r x+C, или Yx = P e r x, где через P обозначено eC.

Учитывая начальное условие Y(0) = Yo, найдем P: Yo = Peo, следовательно, Yo = P. Решение имеет вид:

Yx =Yo e r x.

Рассмотрим еще одну экономическую задачу. Простейшие макроэкономические модели также приводят к линейным дифференциальным уравнениям 1-го порядка, описывающим изменение дохода или выпуска продукции Y как функций времени.

Пусть национальный доход Y возрастает со скоростью, пропорциональной его величине

Решить уравнение y ¢¢¢ = cos x. Характеристическое уравнение имеет вид k2 - 1 = 0, корни которого k1 = 1, k2 = -1 действительны и различны.

Найти экстремумы функции f(x) = 2x3 - 15x2+ 36x - 14.

Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак вместимостью V=16p » 50 м3. Каковы должны быть размеры бака (радиус R и высота Н), чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество материала?

Многие проблемы, возникающие в экономических исследованиях, планировании и управлении, будучи сформулированными математически, представляют собой задачи, в которых необходимо решить систему алгебраических уравнений.
Использование интегралов в экономических расчетах