Частные производные Дифференциальные уравнения Основные методы интегрирования


Производная, матрица, ряды примеры решений

Пример. Исследовать систему уравнений и найти общее решение в зависимости от значения параметра а.

 2x1 - x2 + x3 + x4 = 1,

 x1 + 2x2 - x3 +  4x4 = 2,

 x1 + 7x2 - 4x3 + 11x4 = a.

Решение. Данной системе соответствует матрица`. Имеем `А ~  следовательно, исходная система равносильна такой:

 x1 + 2x2 - x3 + 4x4 = 2,

 5x2 - 3x3 + 7x4 = a-2,

 0 = a-5.

Числовые ряды. Математика лекции и задачи

Отсюда видно, что система совместна только при a=5. Общее решение в этом случае имеет вид:

x2 = 3/5 + 3/5x3 - 7/5x4, x1 = 4/5 - 1/5x3 - 6/5x4.

Пример. Выяснить, будет ли линейно зависимой система векторов:

 a1 = (1, 1, 4, 2),

 a2 = (1, -1, -2, 4),

  a3 = (0, 2, 6, -2),

 a4 = (-3, -1, 3, 4),

 a5 = (-1, 0, - 4, -7).

Решение. Система векторов является линейно зависимой, если найдутся такие числа x1, x2, x3, x4, x5, из которых хотя бы одно отлично от нуля
(см. п. 1. разд. I), что выполняется векторное равенство:

x1 a1 + x2 a2 + x3 a3 + x4 a4 + x5 a5 = 0.

В координатной записи оно равносильно системе уравнений:

 x1 + x2 - 3x4 - x5 = 0,

 x1 -  x2 + 2x3 - x4 = 0,

 4x1 - 2x2 + 6x3 +3x4 - 4x5 = 0,

 2x1 + 4x2 - 2x3 + 4x4 - 7x5 = 0.

Итак, получили систему линейных однородных уравнений. Решаем ее методом исключения неизвестных:

 .

Система приведена к ступенчатому виду, ранг матрицы равен 3, значит, однородная система уравнений имеет решения, отличные от нулевого (r < n). Определитель при неизвестных x1, x2, x4 отличен от нуля, поэтому их можно выбрать в качестве главных и переписать систему в виде:

 x1 + x2 - 3x4 = x5,

 -2x2 + 2x4 = -2x3 - x5,

 - 3x4 = - x5.

Имеем: x4 = 1/3 x5, x2 = 5/6x5+x3, x1 = 7/6 x5 -x3.

Система имеет бесчисленное множество решений; если свободные неизвестные x3 и x5 не равны нулю одновременно, то и главные неизвестные отличны от нуля. Следовательно, векторное уравнение

x1 a1 + x2 a2 + x3 a3 + x4 a4 + x5 a5 = 0

имеет коэффициенты, не равные нулю одновременно; пусть например, x5 = 6, x3 = 1. Тогда x4=2, x2 = 6, x1=6 и мы получим соотношение

6a1 + 6a2 + a3 + 2a4 + 6a5 = 0,

т.е. данная система векторов линейно зависима.

Найти собственные значения и собственные векторы матрицы .

Пример. Из некоторого листового материала необходимо выкроить 360 заготовок типа А, 300 заготовок типа Б и 675 заготовок типа В.

Пример. Три судна доставили в порт 6000 т чугуна, 4000 т железной руды и 3000 т апатитов. Разгрузку можно производить как непосредственно в железнодорожные вагоны для последующей доставки потребителям, так и на портовые склады.

Пример. На предприятии имеется четыре технологических способа изготовления изделий А и Б из некоторого сырья. В таблице указано количество изделий, которое может быть произведено из единицы сырья каждым из технологических способов.

Математическая модель межотраслевого баланса

Пример. Пусть дана леонтьевская балансовая модель “затраты - выпуск” X = AX +Y. Найти вектор конечной продукции Y при заданном X, где ;

Вычисление определителя матрицы заключается в выполнении над матрицей алгоритма Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений. В результате выполнения алгоритма получаем диагональную матрицу, её определитель равен произведению элементов, стоящих на диагонали.
Использование интегралов в экономических расчетах