Частные производные Дифференциальные уравнения Основные методы интегрирования


Производная, матрица, ряды примеры решений

Пример. Исследовать систему уравнений и решить ее, если она совместна:

5x1 - x2 + 2x3 + x4 = 7,

2x1 + x2 + 4x3 - 2x4 = 1,

x1 - 3x2 - 6x3 + 5x4 = 0.

Решение. Выписываем расширенную матрицу системы:

.

Вычислим ранг основной матрицы системы. Очевидно, что, например, минор второго порядка в левом верхнем углу  = 7 ¹ 0; содержащие его миноры третьего порядка равны нулю: Пример Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость. Найти линейное уравнение регрессии и оценить тесноту связи для статистических данных

 

Следовательно, ранг основной матрицы системы равен 2, т.е. r(A) = 2. Для вычисления ранга расширенной матрицы `A рассмотрим окаймляющий минор

значит, ранг расширенной матрицы r(`A) = 3. Поскольку r(A) ¹ r( `A), то система несовместна.

Пользуясь определением предела числовой последовательности, доказать, что последовательность xn =(n-1)/n имеет предел, равный 1. Здесь мы воспользовались теоремой о пределе степени: предел степени равен степени от предела основания.

Доказать, что предел   не существует.

Найти предел

Найти предел .

Пример. Под вечной рентой понимается последовательность платежей, число членов которой не ограничено - она выплачивается в течение бесконечного числа лет. Вечная рента не является чистой абстракцией - на практике это некоторые виды облигационных займов, оценка способности пенсионных фондов отвечать по своим обязательствам.

Составьте канонические уравнения прямой: 5x + y + z = 0, 2x + 3y - 2z + 5 = 0.

Составьте уравнения прямых, проходящих через точку A(3,1) и наклоненных к прямой 2x+3y-1 = 0 под углом 45 градусов .

Как расположены на плоскости точки, координаты которых удовлетворяют условиям (x-3) 2 + (y-3) 2 < 8, x > y?

Найти предел функции y = при x ® 0.

Исторически первым, наиболее распространенным методом решения систем линейных уравнений является метод Гаусса, или метод последовательного исключения неизвестных. Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных данная система превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) систему, равносильную данной.
Использование интегралов в экономических расчетах